あるクラスでテストを行ったところ、平均値が55、分散が40であった。 (ア) 各点数を1.5倍した点数の分散を求める。 (イ) 各点数から50を引いた点数を2乗したものの平均値を求める。

1. 問題の内容

あるクラスでテストを行ったところ、平均値が55、分散が40であった。

(ア) 各点数を1.5倍した点数の分散を求める。

(イ) 各点数から50を引いた点数を2乗したものの平均値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) 分散の性質を利用する。データの値を定数倍したとき、分散は定数の2乗倍になる。

元の分散が40なので、1.5倍したデータの分散は、

$40 \times (1.5)^2$

を計算する。

(イ) $y_i = x_i - 50$ とおくと、$x_i = y_i + 50$ である。求めるものは、$y_i^2$ の平均値。

$x_i$ の平均値は55なので、$E[x_i] = 55$。$E[x_i] = E[y_i + 50] = E[y_i] + 50 = 55$ より、$E[y_i] = 55 - 50 = 5$

分散$V[x_i]$の定義は、$E[(x_i - E[x_i])^2] = V[x_i]$であるから、$E[(x_i - 55)^2] = 40$

$y_i = x_i - 50$ より、$x_i = y_i + 50$ なので、$x_i - 55 = y_i + 50 - 55 = y_i - 5$

$E[(x_i - 55)^2] = E[(y_i - 5)^2] = 40$

$E[(y_i - 5)^2] = E[y_i^2 - 10y_i + 25] = E[y_i^2] - 10E[y_i] + 25 = E[y_i^2] - 10(5) + 25 = E[y_i^2] - 50 + 25 = E[y_i^2] - 25 = 40$

したがって、$E[y_i^2] = 40 + 25 = 65$

3. 最終的な答え

(ア) $40 \times (1.5)^2 = 40 \times 2.25 = 90$

(イ) 65

答え：

ア: 90

イ: 65