9人の生徒がおり、内訳は美術部、書道部、合唱部がそれぞれ3人ずつである。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の3人だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) グループ分けの総数は何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りあるか。

1. 問題の内容

9人の生徒がおり、内訳は美術部、書道部、合唱部がそれぞれ3人ずつである。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作る。残りの6人から2人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) グループ分けの総数は何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りあるか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、美術部の3人だけで3人のグループを作る方法は1通りである。

次に、残りの6人から2人を選ぶ組み合わせの数は、組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。この場合、$n=6$、$r=2$なので、

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りである。

(2)

9人を2人、3人、4人のグループに分ける総数は、多項係数を用いて計算できる。

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通りである。

各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合を考える。

まず、美術部の3人から、2人のグループ、3人のグループ、4人のグループに1人ずつ割り当てる。これは3! = 3 x 2 x 1 = 6 通りの方法がある。

次に、残りの6人(書道部3人、合唱部3人)を各グループに割り当てる。

- 2人のグループには、美術部員が1人いるので、残りの1人を6人から選ぶ。$_{6}C_{1} = 6$通り。

- 3人のグループには、美術部員が1人いるので、残りの2人を5人から選ぶ。$_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

- 4人のグループには、美術部員が1人いるので、残りの3人を3人から選ぶ。$_{3}C_{3} = 1$通り。

したがって、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る分け方は、 $6 \times 6 \times 10 \times 1 = 360$ 通りである。

(3)

まず、2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方を考える。

2人のグループを美術部のみで構成することはできない。

書道部のみで構成される場合は$_{3}C_{2} = 3$通り。

合唱部のみで構成される場合は$_{3}C_{2} = 3$通り。

したがって、2人のグループに1つの部の部員だけが入る方法は、3 + 3 = 6通り。

残りの7人を3人と4人に分ける方法は、$_{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

よって、 $6 \times 35 = 210$通り。

次に、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方を考える。

全体の場合の数1260通りから、少なくとも1つのグループが1つの部だけで構成されている場合を引けばよい。

2人のグループに1つの部員だけが入る場合が210通り。

3人のグループに1つの部の部員だけが入る場合: 美術部3人、書道部3人、合唱部3人のいずれか。

美術部だけで構成される場合は条件よりありえない。書道部だけで構成される場合は1通り。合唱部だけで構成される場合は1通り。よって計2通り。

残りの6人を2人と4人に分ける方法は、$_{6}C_{2} = 15$通り。 よって$2 \times 15=30$通り。

4人のグループに1つの部員だけが入る場合、ありえない。

1260-(210+30) = 1020通り

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 1260通り、360通り

(3) 210通り、1020通り