問題8：A, B, Cの3人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。 (1) AとBの2人が勝つ確率 (2) 1人だけが勝つ確率 問題9：A, B, C, D, E, F, G, Hの8文字を無作為に1列に並べるとき、次の確率を求めよ。 (1) 両端がA, Bである確率 (2) A, Bが隣り合う確率 (3) AはBより左に、BはCより左にある確率

1. 問題の内容

問題8：A, B, Cの3人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。

(1) AとBの2人が勝つ確率

(2) 1人だけが勝つ確率

問題9：A, B, C, D, E, F, G, Hの8文字を無作為に1列に並べるとき、次の確率を求めよ。

(1) 両端がA, Bである確率

(2) A, Bが隣り合う確率

(3) AはBより左に、BはCより左にある確率

2. 解き方の手順

問題8

(1) AとBの2人が勝つ場合、まずAとBが同じ手を出す必要があります。AとBの手の出し方は、(グー, グー), (チョキ, チョキ), (パー, パー)の3通りあります。CはA, Bに負ける手を出す必要があります。A, BがグーならCはチョキ、A, BがチョキならCはパー、A, BがパーならCはグーを出せば良いので、Cの出し方は1通りです。よって、AとBの2人が勝つ場合の数は3通りです。

3人の手の出し方の総数は $3 \times 3 \times 3 = 27$通りなので、確率は $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$です。

(2) 1人だけが勝つ場合、まず誰が勝つか選びます。これは3通りです。勝つ人の手の出し方は3通りです。負ける2人は同じ手を出す必要があります。負ける手の出し方は1通りです。

よって、1人だけが勝つ場合の数は $3 \times 3 \times 1 = 9$通りです。

3人の手の出し方の総数は $3 \times 3 \times 3 = 27$通りなので、確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$です。

問題9

(1) 両端がA, Bである場合、まずAとBを配置します。AとBの配置は2通りです (A---B, B---A)。残りの6文字を並べる方法は $6! = 720$通りです。

8文字を並べる総数は $8! = 40320$通りなので、確率は $\frac{2 \times 720}{40320} = \frac{1440}{40320} = \frac{1}{28}$です。

(2) A, Bが隣り合う場合、A, Bを1つの塊として考えます。この塊と残りの6文字を並べる方法は $7! = 5040$通りです。A, Bの並び方は2通り (AB, BA) なので、A, Bが隣り合う並び方は $2 \times 5040 = 10080$通りです。

8文字を並べる総数は $8! = 40320$通りなので、確率は $\frac{10080}{40320} = \frac{1008}{4032} = \frac{1}{4}$です。

(3) AはBより左に、BはCより左にある場合、A, B, Cの順番はABCで確定します。

A, B, Cの配置場所を8文字の中から3つ選びます。その選び方は ${}_8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通りです。

残りの5文字を並べる方法は $5! = 120$通りです。

A, B, Cの順番が指定されている並び方は $56 \times 120 = 6720$通りです。

8文字を並べる総数は $8! = 40320$通りなので、確率は $\frac{6720}{40320} = \frac{672}{4032} = \frac{1}{6}$です。

3. 最終的な答え

問題8

(1) $\frac{1}{9}$

(2) $\frac{1}{3}$

問題9

(1) $\frac{1}{28}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{1}{6}$