1から5までの番号札がそれぞれ3枚ずつ、合計15枚あります。この15枚の札から2枚を取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 2枚が同じ数字である確率 (2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が4以下である確率

## 問題15

1. 問題の内容

1から5までの番号札がそれぞれ3枚ずつ、合計15枚あります。この15枚の札から2枚を取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 2枚が同じ数字である確率

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が4以下である確率

2. 解き方の手順

(1) 2枚が同じ数字である確率

* 全事象の数：15枚から2枚を取り出す組み合わせの数なので、$_{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$

* 事象の数：同じ数字の札は3枚ずつあるので、同じ数字の札から2枚を取り出す組み合わせの数は、各数字について$_{3}C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$。数字の種類は5種類あるので、$3 \times 5 = 15$

* 確率は、$\frac{\text{事象の数}}{\text{全事象の数}} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が4以下である確率

* 2枚が同じ数字である確率は、(1)で求めたように$\frac{1}{7}$

* 2枚の数字の積が4以下となる組み合わせ：(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (4,1)

* (1,1)は既に「2枚が同じ数字」で考慮済み。

* (1,2)となる確率：1が3枚、2が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* (1,3)となる確率：1が3枚、3が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* (1,4)となる確率：1が3枚、4が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* (2,1)となる確率：2が3枚、1が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* (2,2)となる確率は2枚が同じ数字で考慮済み。

* (3,1)となる確率：3が3枚、1が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* (4,1)となる確率：4が3枚、1が3枚なので、$3 \times 3 = 9$通り。2枚の取り出し方は2通りあるので、$9 \times 2 = 18$通り.

* 上記より、積が4以下となる組み合わせは、2と1の組み合わせのみとなる。これは(1,2)および(2,1)の組み合わせで、それぞれの確率は$\frac{9}{105}$である。組み合わせの順番を考慮すると、$\frac{9}{105} \times 2 = \frac{18}{105}$

* 求める確率は、2枚が同じ数字である確率 + 2枚の数字の積が4以下である確率（ただし、同じ数字の場合は重複して数えない）

* $\frac{15}{105} + \frac{18}{105} = \frac{33}{105} = \frac{11}{35}$

3. 最終的な答え

(1) 2枚が同じ数字である確率：$\frac{1}{7}$

(2) 2枚が同じ数字であるか、2枚の数字の積が4以下である確率：$\frac{11}{35}$

## 問題16

1. 問題の内容

1個のサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 出る目がすべて3以上である確率

(2) 出る目の最小値が3である確率

2. 解き方の手順

(1) 出る目がすべて3以上である確率

* 1回の試行で3以上の目が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ (3,4,5,6)

* 4回の試行で全て3以上の目が出る確率は$(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

(2) 出る目の最小値が3である確率

* 4回の試行で3以上の目が出る確率は、(1)より$(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

* 4回の試行で4以上の目が出る確率は、$(\frac{3}{6})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} = \frac{81}{1296} = \frac{81}{16 \times 81} = \frac{16}{81}$

* 最小値が3である確率は、「3以上が出る確率」 - 「4以上が出る確率」

* $\frac{16}{81} - (\frac{1}{2})^4 = \frac{16}{81} - \frac{1}{16} = \frac{256 - 81}{1296} = \frac{175}{1296}$

3. 最終的な答え

(1) 出る目がすべて3以上である確率：$\frac{16}{81}$

(2) 出る目の最小値が3である確率：$\frac{175}{1296}$

## 問題17

1. 問題の内容

A, B, Cの3人が試験に合格する確率がそれぞれ$\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{5}{8}$であるとき、3人のうち少なくとも1人が合格する確率を求めます。

2. 解き方の手順

少なくとも1人が合格する確率は、全員が不合格になる確率を1から引くことで求められます。

* Aが不合格になる確率：$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

* Bが不合格になる確率：$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

* Cが不合格になる確率：$1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

* 全員が不合格になる確率：$\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{64}$

* 少なくとも1人が合格する確率：$1 - \frac{3}{64} = \frac{61}{64}$

3. 最終的な答え

少なくとも1人が合格する確率：$\frac{61}{64}$