あるメーカーの工場で直径5cmの製品を製造しており、標準偏差は0.5cmである。25個の標本を抽出したところ、平均が4.8cmであった。直径が5cmを明らかに下回っていると判断できるかを有意水準5%と1%で検定する。

1. 問題の内容

あるメーカーの工場で直径5cmの製品を製造しており、標準偏差は0.5cmである。25個の標本を抽出したところ、平均が4.8cmであった。直径が5cmを明らかに下回っていると判断できるかを有意水準5%と1%で検定する。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定する。

帰無仮説 $H_0$ は、母平均 $\mu$ が 5cm であるという仮説です。

$H_0: \mu = 5$

対立仮説 $H_1$ は、母平均 $\mu$ が 5cm より小さいという仮説です。（片側検定）

$H_1: \mu < 5$

(2) 検定統計量を計算する。

検定統計量 $Z$ は以下の式で計算される。

$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$: 標本平均 = 4.8cm

$\mu_0$: 帰無仮説における母平均 = 5cm

$\sigma$: 母標準偏差 = 0.5cm

$n$: 標本サイズ = 25

したがって、

$Z = \frac{4.8 - 5}{0.5 / \sqrt{25}} = \frac{-0.2}{0.5 / 5} = \frac{-0.2}{0.1} = -2$

(3) 棄却域の境界値を求める。

有意水準5%の場合、$z_{\alpha} = z_{0.05} = -1.645$

有意水準1%の場合、$z_{\alpha} = z_{0.01} = -2.33$

(4) 検定統計量と棄却域の境界値を比較して、帰無仮説を棄却するかどうかを判断する。

* 有意水準5%の場合:

$Z = -2 < -1.645$ であるため、帰無仮説を棄却する。

* 有意水準1%の場合:

$Z = -2 > -2.33$ であるため、帰無仮説を棄却しない。

3. 最終的な答え

帰無仮説H0:μ = 5

対立仮説H1:μ < 5

検定統計量: Z = -2

棄却域の境界値

(1) z = -1.645 (有意水準5%の場合)

(2) z = -2.33 (有意水準1%の場合)

判定

(1) 有意水準5%の場合：帰無仮説を棄却する。したがって、直径は5cmを下回っていると判断できる。

(2) 有意水準1%の場合：帰無仮説を棄却しない。したがって、直径は5cmを下回っているとは判断できない。