1つのサイコロを3回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 1回目に素数の目、2回目に6の約数の目、3回目に2以下の目が出る確率 (2) 3回目に初めて2以下の目が出る確率 (3) 2以下の目がちょうど2回出る確率 (4) 少なくとも1回は2以下の目が出る確率

はい、承知いたしました。問題文を読み取り、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回続けて投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 1回目に素数の目、2回目に6の約数の目、3回目に2以下の目が出る確率

(2) 3回目に初めて2以下の目が出る確率

(3) 2以下の目がちょうど2回出る確率

(4) 少なくとも1回は2以下の目が出る確率

2. 解き方の手順

(1)

* 1回目に素数の目が出る確率：素数は2, 3, 5なので、確率は $3/6 = 1/2$

* 2回目に6の約数の目が出る確率：6の約数は1, 2, 3, 6なので、確率は $4/6 = 2/3$

* 3回目に2以下の目が出る確率：1, 2なので、確率は $2/6 = 1/3$

それぞれの試行は独立なので、これらの確率を掛け合わせます。

$P(1) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}$

(2)

* 1回目と2回目は3以上の目が出て、3回目に2以下の目が出る確率を求めます。

* 1回目に3以上の目が出る確率：3, 4, 5, 6なので、確率は $4/6 = 2/3$

* 2回目に3以上の目が出る確率：3, 4, 5, 6なので、確率は $4/6 = 2/3$

* 3回目に2以下の目が出る確率：1, 2なので、確率は $2/6 = 1/3$

それぞれの試行は独立なので、これらの確率を掛け合わせます。

$P(2) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}$

(3)

3回のうちちょうど2回、2以下の目が出る確率を求めます。

2以下の目が出る確率を $p = 1/3$、3以上の目が出る確率を $q = 2/3$ とします。

3回のうち2回2以下の目が出る組み合わせは3通りあり、それぞれの確率は $p \times p \times q$で求められるので、以下のようになります。

$P(3) = {}_3 C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3}$

(4)

少なくとも1回2以下の目が出る確率は、全ての事象から1回も2以下の目が出ない確率を引けば求まります。

1回も2以下の目が出ない確率(全て3以上の目が出る確率)は $(2/3)^3$ なので、以下のようになります。

$P(4) = 1 - (\frac{2}{3})^3$

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

(2) $P(2) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

(3) $P(3) = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{2}{3} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

(4) $P(4) = 1 - (\frac{2}{3})^3 = 1 - \frac{8}{27} = \frac{27-8}{27} = \frac{19}{27}$