サイコロを3回投げるとき、最小の目の数を確率変数 $Y$ とする。$Y$ の分布関数と確率分布を求める問題です。

1. 問題の内容

サイコロを3回投げるとき、最小の目の数を確率変数 $Y$ とする。$Y$ の分布関数と確率分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $Y$ がとりうる値は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ であることを確認します。

次に、分布関数 $F_Y(y) = P(Y \le y)$ を求めます。これは $Y$ が $y$ 以下の値をとる確率です。$Y \le y$ は、「3回の試行において、少なくとも1回は $y$ 以下の目が出る」ということと同値です。これを余事象の考え方で求めます。「3回とも $y$ より大きい目が出る」確率を全体から引けば、$P(Y \le y)$ が求まります。

3回とも $y$ より大きい目が出る確率は、各回の試行で $y+1, y+2, \dots, 6$ のいずれかが出る確率の積となります。各回の確率は $\frac{6-y}{6}$ なので、3回とも $y$ より大きい目が出る確率は $(\frac{6-y}{6})^3$ です。したがって、分布関数は次のようになります。

$F_Y(y) = P(Y \le y) = 1 - (\frac{6-y}{6})^3$

次に、確率質量関数 $P(Y=y)$ を求めます。これは $Y$ が特定の値 $y$ をとる確率です。これは分布関数の差分として求めることができます。

$P(Y=y) = P(Y \le y) - P(Y \le y-1) = F_Y(y) - F_Y(y-1)$

上記の式に分布関数の式を代入して、

$P(Y=y) = [1 - (\frac{6-y}{6})^3] - [1 - (\frac{6-(y-1)}{6})^3] = (\frac{7-y}{6})^3 - (\frac{6-y}{6})^3$

3. 最終的な答え

分布関数：

$F_Y(y) = 1 - (\frac{6-y}{6})^3$

確率質量関数：

$P(Y=y) = (\frac{7-y}{6})^3 - (\frac{6-y}{6})^3$ (ただし、$y = 1, 2, 3, 4, 5, 6$)