18本のくじの中に何本か当たりくじが入っています。1本引くと、当たりなら3点、はずれなら-1点がもらえます。得点の期待値が1以上になるためには、当たりくじが何本以上必要か求めます。

1. 問題の内容

18本のくじの中に何本か当たりくじが入っています。1本引くと、当たりなら3点、はずれなら-1点がもらえます。得点の期待値が1以上になるためには、当たりくじが何本以上必要か求めます。

2. 解き方の手順

当たりくじの本数を $x$ とします。

はずれくじの本数は $18 - x$ となります。

当たりを引く確率は $\frac{x}{18}$ です。

はずれを引く確率は $\frac{18 - x}{18}$ です。

得点の期待値は、当たりの場合の得点に当たる確率をかけ、はずれの場合の得点にはずれる確率をかけたものの和で計算されます。

したがって、得点の期待値 $E$ は次の式で表されます。

$E = 3 \times \frac{x}{18} + (-1) \times \frac{18 - x}{18}$

問題文より、期待値 $E$ が1以上となる必要があるので、$E \geq 1$ となります。

$3 \times \frac{x}{18} + (-1) \times \frac{18 - x}{18} \geq 1$

この不等式を解きます。

$\frac{3x}{18} - \frac{18 - x}{18} \geq 1$

分母を払うために、両辺に18をかけます。

$3x - (18 - x) \geq 18$

$3x - 18 + x \geq 18$

$4x \geq 36$

$x \geq 9$

したがって、当たりくじは9本以上必要です。

3. 最終的な答え

9本