4枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の確率分布を求めてください。

1. 問題の内容

4枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の確率分布を求めてください。

2. 解き方の手順

* 確率変数 $X$ は、表が出る枚数なので、$X = 0, 1, 2, 3, 4$ のいずれかの値をとります。

* それぞれの $X$ の値に対する確率を計算します。硬貨を1枚投げる時の表が出る確率は $1/2$ 、裏が出る確率も $1/2$ です。4枚の硬貨を投げる試行は独立なので、二項分布に従います。

* $X=k$ となる確率 $P(X=k)$ は、二項分布の確率質量関数を用いて計算できます。

$P(X=k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^4 = \frac{\binom{4}{k}}{16}$

* 各 $k$ について確率を計算します。

$P(X=0) = \frac{\binom{4}{0}}{16} = \frac{1}{16}$

$P(X=1) = \frac{\binom{4}{1}}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

$P(X=3) = \frac{\binom{4}{3}}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$P(X=4) = \frac{\binom{4}{4}}{16} = \frac{1}{16}$

* 確率分布をまとめます。

3. 最終的な答え

確率変数 $X$ の確率分布は次の通りです。

$P(X=0) = \frac{1}{16}$

$P(X=1) = \frac{1}{4}$

$P(X=2) = \frac{3}{8}$

$P(X=3) = \frac{1}{4}$

$P(X=4) = \frac{1}{16}$