次の式の値を求めます。 $${5 \mathrm{C}_0 + \frac{{5 \mathrm{C}_1}}{3} + \frac{{5 \mathrm{C}_2}}{3^2} + \frac{{5 \mathrm{C}_3}}{3^3} + \frac{{5 \mathrm{C}_4}}{3^4} + \frac{{5 \mathrm{C}_5}}{3^5}}$$

1. 問題の内容

次の式の値を求めます。

$${5 \mathrm{C}_0 + \frac{{5 \mathrm{C}_1}}{3} + \frac{{5 \mathrm{C}_2}}{3^2} + \frac{{5 \mathrm{C}_3}}{3^3} + \frac{{5 \mathrm{C}_4}}{3^4} + \frac{{5 \mathrm{C}_5}}{3^5}}$$

2. 解き方の手順

これは二項定理の応用です。二項定理とは、

$$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \mathrm{C}_k} x^{n-k} y^k$$

のことです。

この問題の式は、二項定理において、$x = 1$, $y = \frac{1}{3}$, $n = 5$としたときの式に相当します。

したがって、

$$(1 + \frac{1}{3})^5 = \sum_{k=0}^{5} {5 \mathrm{C}_k} (1)^{5-k} (\frac{1}{3})^k = {5 \mathrm{C}_0} + \frac{{5 \mathrm{C}_1}}{3} + \frac{{5 \mathrm{C}_2}}{3^2} + \frac{{5 \mathrm{C}_3}}{3^3} + \frac{{5 \mathrm{C}_4}}{3^4} + \frac{{5 \mathrm{C}_5}}{3^5}$$

よって、求める値は$(1 + \frac{1}{3})^5$を計算すればよいことになります。

$$(1 + \frac{1}{3})^5 = (\frac{4}{3})^5 = \frac{4^5}{3^5} = \frac{1024}{243}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1024}{243}$