8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が書かれている。これらの玉をA, B, Cの箱に2個ずつ入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りか。 (3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りか。

1. 問題の内容

8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が書かれている。これらの玉をA, B, Cの箱に2個ずつ入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りか。

(3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いる。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り

(2)

3つの箱への玉の入れ方は、まずAに入れる玉を選び、次にBに入れる玉を選び、最後にCに入れる玉を選ぶ。

Aの選び方は$_8C_2 = 28$通り。

Bの選び方は残りの6個から2個選ぶので$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

Cの選び方は残りの4個から2個選ぶので$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

よって、全部で$28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。ただし、A, B, Cの区別はないので、$3! = 6$で割る必要があるか検討する。問題文では区別することが前提とされているので、そのまま計算結果を使用する。

しかし、2個ずつ選んでいくので順番は考慮しない。従って、$28 \times 15 \times 6 / (3!) = \frac{2520}{6} = 420$通り。これは、8個から2個ずつ3つのグループに分ける方法の数である。問題文の指示では、まずA, 次にB, 最後にCなので、この順番で分ける必要があり、箱を区別することを意味する。よって$28 \times 15 \times 1 = 420$通りではなく、順番を考慮した$28 \times 15 \times 6 / 2 = 1260$通りでもない。$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = 28 \times 15 \times 6 = 2520$を2で割る必要がある。玉を取り出す順番がA,B,Cとなっているので、これは箱を区別していることになる。

従って、箱A, B, Cに玉を入れる順番を考慮しない場合は、計算結果を3!で割る必要があるが、この問題文ではA, B, Cの順番で玉を入れるので、区別をする。

箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れる場合。

5以下の数字は1, 2, 3, 4, 5の5個。6以上の数字は6, 7, 8の3個。

AとBには5以下の数字の玉を入れる必要があるので、まず5個から4個を選ぶ。

Aに入れる2個の選び方は$_5C_2 = 10$通り。Bに入れる2個の選び方は残りの3個から2個選ぶので$_3C_2 = 3$通り。残りの1個は無視する。

Cには6, 7, 8のうちから2個選ぶので、$_3C_2 = 3$通り。

残った5以下の玉1つと6以上の玉1つをどこに入れるかだが、条件を満たせないので0通り。よって0通り。

箱Aと箱Bには5以下の数字しか入れられないので、5以下の数字が書かれた玉が3個以上ないといけない。しかし、5以下の数字の玉は5個あるので、問題ない。同様に、Cには6以上の数字しか入れられないので、6以上の数字が書かれた玉が2個以上ないといけない。6以上の数字の玉は3個あるので、問題ない。

したがって、$10 \times 3 \times 1 = 30$通り。

6以上の玉が3個あるので、そのうち2個をCに入れればいいので、$_3C_2=3$通り。

5以下の玉が5個あるので、A, Bに入れる4個を選ぶ必要がある。選んだ4個をA, Bに分ける。

$_5C_4 \times _4C_2 \times _2C_2 = 5 \times 6 \times 1 = 30$通り。

箱Aと箱Bの区別があるので、$5 \times 6 = 30$通り。

箱Aと箱Bの区別がないので、5個の玉から4個を選んでA,Bに入れる。残りの1個と、6以上の玉でCを構成することはないので0通り。

(3)

a, b, cがすべて偶数となるのは、A, B, Cに入れる玉の組み合わせがすべて偶数となる場合。

偶数の玉は2, 4, 6, 8の4個、奇数の玉は1, 3, 5, 7の4個。

2つの玉の和が偶数となるのは、偶数+偶数または奇数+奇数の場合。

A, B, Cすべてが偶数となるのは、(偶,偶), (偶,偶), (偶,偶)または(奇,奇), (奇,奇), (奇,奇)の場合。

まず偶数のみの場合。Aに偶数2個、Bに偶数2個、Cに偶数2個を選ぶ。しかし、偶数は4個しかないので、これはありえない。

次に奇数のみの場合。Aに奇数2個、Bに奇数2個、Cに奇数2個を選ぶ。奇数は4個あるので、これはありえる。$_4C_2 \times _2C_2 = 6 \times 1 = 6$通り。

Aに奇数2個、Bに奇数2個の場合、Cは自動的に決まるので$_4C_2 = 6$通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる場合。

全事象からすべて奇数の場合を引けばよい。

全事象は$28 \times 15 = 420$通りなので、$420 - 6 = 414$通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 420通り、0通り

(3) 6通り、414通り