大小2つのサイコロを投げるとき、以下の(1)と(2)の場合が何通りあるかを答える問題です。 (1) 目の和が3の倍数になる場合 (2) 目の積が6の倍数になる場合

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げるとき、以下の(1)と(2)の場合が何通りあるかを答える問題です。

(1) 目の和が3の倍数になる場合

(2) 目の積が6の倍数になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が3の倍数になる場合

大小2つのサイコロの出目をそれぞれ$a, b$とします。$a+b$が3の倍数になるのは、$a+b = 3, 6, 9, 12$のときです。

* $a+b = 3$となるのは、$(1, 2), (2, 1)$の2通り。

* $a+b = 6$となるのは、$(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$の5通り。

* $a+b = 9$となるのは、$(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$の4通り。

* $a+b = 12$となるのは、$(6, 6)$の1通り。

したがって、合計で$2 + 5 + 4 + 1 = 12$通り。

(2) 目の積が6の倍数になる場合

$a \times b$が6の倍数になるのは、少なくとも$a$または$b$が6の倍数であるか、または$a, b$のどちらかが2の倍数で、もう片方が3の倍数である必要があります。

* $a$が6のとき: $b$は1から6のどれでも良いので、6通り。

* $b$が6のとき: $a$は1から5のどれでも良いので、5通り。(a=6のときは重複するため除く。)

* $a$が2のとき: $b$は3となる場合、(2,3)

* $a$が4のとき: $b$は3となる場合、(4,3)

* $a$が3のとき: $b$は2, 4となる場合、(3,2),(3,4)

* $a$が5の時: $b$は6の時のみ

$6 + 5 + 1 + 1 + 2=15$通り

または

$a \times b$が6の倍数になる場合を数える代わりに、6の倍数にならない場合を数え、全体から引くという方法もあります。全体の組み合わせは$6 \times 6 = 36$通りです。

6の倍数にならないのは以下のいずれかの場合です。

(i) $a, b$ どちらにも2と3の倍数がない場合

* $a,b$が奇数の場合、$a = 1, 3, 5$, $b=1, 3, 5$ なので$3 \times 3 = 9$通り

* $a,b$の片方が2の倍数(かつ3の倍数でない)で、もう片方が3の倍数(かつ2の倍数でない)の場合: $a=2, 4$, $b=3$, および $a=3$, $b=2, 4$ で、$2+2=4$通り

(ii) 片方が6の倍数で、もう片方が2と3の少なくともどちらかで割り切れない場合：すでに上記で考慮済み。

6の倍数にならないのは9+4+6+2 =17の場合。

$36 - 17 = 15$

$a=1: b=6$

$a=2: b=3, 6$

$a=3: b=2, 4, 6$

$a=4: b=3, 6$

$a=5: b=6$

$a=6: b=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$1+2+3+2+1+6 = 15$

3. 最終的な答え

(1) 12通り

(2) 15通り