サイコロを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。合計が4以上になったところで終了する。終了するまでに投げる回数の期待値を求める。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し投げ、出た目の数を加えていく。合計が4以上になったところで終了する。終了するまでに投げる回数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、終了状態になるまでの合計値を $S$ とする。問題文より、$S \ge 4$ である。

$E$ を求める期待値とする。

1回目の試行について考える。

1回目の出目が1の場合、次の試行で合計が4以上になるまで投げる必要があり、その期待値は $E$ 回である。ただし、合計が3である状態から開始するので、$E_3$と表すことにする。

同様に、1回目の出目が2の場合、$E_2$、1回目の出目が3の場合、$E_1$、1回目の出目が4, 5, 6の場合、1回で終了する。

$E_i$ を合計が $i$ である状態から4以上になるまでの投げる回数の期待値とすると、求める期待値 $E$ は $E_0$ である。

$E_0 = 1 + \frac{1}{6}(E_1 + E_2 + E_3 + 0 + 0 + 0)$

$E_1 = 1 + \frac{1}{6}(E_2 + E_3 + 0 + 0 + 0 + 0)$

$E_2 = 1 + \frac{1}{6}(E_3 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0)$

$E_3 = 1 + \frac{1}{6}(0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) = 1$

これを解く。

$E_2 = 1 + \frac{1}{6} E_3 = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

$E_1 = 1 + \frac{1}{6}(E_2 + E_3) = 1 + \frac{1}{6}(\frac{7}{6} + 1) = 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{13}{6} = 1 + \frac{13}{36} = \frac{49}{36}$

$E_0 = 1 + \frac{1}{6}(E_1 + E_2 + E_3) = 1 + \frac{1}{6}(\frac{49}{36} + \frac{7}{6} + 1) = 1 + \frac{1}{6}(\frac{49}{36} + \frac{42}{36} + \frac{36}{36}) = 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{127}{36} = 1 + \frac{127}{216} = \frac{216+127}{216} = \frac{343}{216}$

3. 最終的な答え

343/216