大人6人、子供4人の合計10人の中から抽選で5人を選ぶとき、次の確率を求める。 (1) 大人が3人、子供が2人選ばれる確率 (2) 子供が1人だけ選ばれる確率

1. 問題の内容

大人6人、子供4人の合計10人の中から抽選で5人を選ぶとき、次の確率を求める。

(1) 大人が3人、子供が2人選ばれる確率

(2) 子供が1人だけ選ばれる確率

2. 解き方の手順

(1) 大人が3人、子供が2人選ばれる確率

まず、10人の中から5人を選ぶ場合の総数を計算する。これは組み合わせで表され、$_{10}C_5$ となる。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、大人が3人、子供が2人選ばれる場合の数を計算する。

大人が3人選ばれる場合の数は、$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

子供が2人選ばれる場合の数は、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、大人が3人、子供が2人選ばれる場合の数は、 $20 \times 6 = 120$

求める確率は、 $\frac{120}{252} = \frac{10}{21}$

(2) 子供が1人だけ選ばれる確率

子供が1人選ばれるということは、大人が4人選ばれるということである。

子供が1人選ばれる場合の数は、$_4C_1 = 4$

大人が4人選ばれる場合の数は、$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、子供が1人だけ選ばれる場合の数は、$4 \times 15 = 60$

求める確率は、 $\frac{60}{252} = \frac{5}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{21}$

(2) $\frac{5}{21}$