問題2: 4枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の確率分布を求めてください。 問題3: 白玉4個と赤玉2個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉が出る個数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の期待値を求めてください。

1. 問題の内容

問題2: 4枚の硬貨を同時に投げるとき、表が出る枚数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の確率分布を求めてください。

問題3: 白玉4個と赤玉2個が入った袋から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉が出る個数を確率変数 $X$ とします。確率変数 $X$ の期待値を求めてください。

2. 解き方の手順

問題2:

硬貨を4枚投げる試行において、表が出る枚数 $X$ は0から4までの値を取ります。それぞれの確率を計算します。

* $X=0$ のとき: 4枚すべてが裏の場合です。確率は $(1/2)^4 = 1/16$

* $X=1$ のとき: 4枚のうち1枚が表で、残りの3枚が裏の場合です。確率は ${}_4 C_1 (1/2)^1 (1/2)^3 = 4/16 = 1/4$

* $X=2$ のとき: 4枚のうち2枚が表で、残りの2枚が裏の場合です。確率は ${}_4 C_2 (1/2)^2 (1/2)^2 = 6/16 = 3/8$

* $X=3$ のとき: 4枚のうち3枚が表で、残りの1枚が裏の場合です。確率は ${}_4 C_3 (1/2)^3 (1/2)^1 = 4/16 = 1/4$

* $X=4$ のとき: 4枚すべてが表の場合です。確率は $(1/2)^4 = 1/16$

したがって、確率分布は以下のようになります。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

|---|--------|--------|--------|--------|--------|

| P(X) | 1/16 | 1/4 | 3/8 | 1/4 | 1/16 |

問題3:

白玉4個、赤玉2個の計6個の玉が入った袋から2個の玉を取り出すとき、白玉の個数 $X$ は0, 1, 2の値を取ります。

* $X=0$ のとき: 2個とも赤玉を取り出す場合です。確率は ${}_2 C_2 / {}_6 C_2 = 1 / 15$

* $X=1$ のとき: 白玉1個、赤玉1個を取り出す場合です。確率は $({}_4 C_1 \times {}_2 C_1) / {}_6 C_2 = (4 \times 2) / 15 = 8 / 15$

* $X=2$ のとき: 2個とも白玉を取り出す場合です。確率は ${}_4 C_2 / {}_6 C_2 = 6 / 15 = 2 / 5$

したがって、確率分布は以下のようになります。

| X | 0 | 1 | 2 |

|---|--------|--------|--------|

| P(X) | 1/15 | 8/15 | 6/15 |

期待値 $E[X]$ は

$E[X] = 0 \times (1/15) + 1 \times (8/15) + 2 \times (6/15) = 0 + 8/15 + 12/15 = 20/15 = 4/3$

3. 最終的な答え

問題2:

確率分布は以下の通りです。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |

|---|--------|--------|--------|--------|--------|

| P(X) | 1/16 | 1/4 | 3/8 | 1/4 | 1/16 |

問題3:

期待値は $4/3$ です。