1個のサイコロを投げて出る目を確率変数 $X$ とします。このとき、以下の確率変数の期待値、分散、標準偏差を求めます。 (1) $X + 4$ (2) $-2X$ (3) $3X - 2$

1. 問題の内容

1個のサイコロを投げて出る目を確率変数 $X$ とします。このとき、以下の確率変数の期待値、分散、標準偏差を求めます。

(1) $X + 4$

(2) $-2X$

(3) $3X - 2$

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めます。

サイコロの目は1から6までなので、$X$ は1から6までの整数を取り、それぞれの確率は $\frac{1}{6}$ です。

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

分散 $V(X)$ は、

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} i^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2) = \frac{1}{6}(1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

$V(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} = \frac{\sqrt{105}}{6}$

次に、以下の公式を使用します。

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$V(aX + b) = a^2V(X)$

$\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$

(1) $X + 4$

$E(X+4) = E(X) + 4 = 3.5 + 4 = 7.5$

$V(X+4) = V(X) = \frac{35}{12}$

$\sigma(X+4) = \sigma(X) = \frac{\sqrt{105}}{6}$

(2) $-2X$

$E(-2X) = -2E(X) = -2(3.5) = -7$

$V(-2X) = (-2)^2V(X) = 4(\frac{35}{12}) = \frac{35}{3}$

$\sigma(-2X) = |-2|\sigma(X) = 2(\frac{\sqrt{105}}{6}) = \frac{\sqrt{105}}{3}$

(3) $3X - 2$

$E(3X-2) = 3E(X) - 2 = 3(3.5) - 2 = 10.5 - 2 = 8.5$

$V(3X-2) = 3^2V(X) = 9(\frac{35}{12}) = \frac{105}{4}$

$\sigma(3X-2) = |3|\sigma(X) = 3(\frac{\sqrt{105}}{6}) = \frac{\sqrt{105}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $X+4$

期待値: 7.5

分散: $\frac{35}{12}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{6}$

(2) $-2X$

期待値: -7

分散: $\frac{35}{3}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{3}$

(3) $3X-2$

期待値: 8.5

分散: $\frac{105}{4}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{105}}{2}$