赤球が4個、白球が5個入った合計9個の球が入っている袋から、同時に2個の球を取り出すとき、取り出した赤球の個数の期待値と白球の個数の期待値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

赤球が4個、白球が5個入った合計9個の球が入っている袋から、同時に2個の球を取り出すとき、取り出した赤球の個数の期待値と白球の個数の期待値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、2個の球を取り出す取り出し方の総数を計算する。これは9個から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通り。

次に、赤球の個数の期待値を求める。

- 赤球が0個の場合：白球5個から2個を取り出すので、${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

- 赤球が1個の場合：赤球4個から1個、白球5個から1個を取り出すので、${}_4C_1 \times {}_5C_1 = 4 \times 5 = 20$通り。

- 赤球が2個の場合：赤球4個から2個を取り出すので、${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

赤球の個数の期待値は、各場合の個数に確率をかけて足し合わせる。

$E(\text{赤球}) = 0 \times \frac{10}{36} + 1 \times \frac{20}{36} + 2 \times \frac{6}{36} = \frac{20}{36} + \frac{12}{36} = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}$

次に、白球の個数の期待値を求める。

- 白球が0個の場合：赤球4個から2個を取り出すので、${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

- 白球が1個の場合：赤球4個から1個、白球5個から1個を取り出すので、${}_4C_1 \times {}_5C_1 = 4 \times 5 = 20$通り。

- 白球が2個の場合：白球5個から2個を取り出すので、${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

白球の個数の期待値は、各場合の個数に確率をかけて足し合わせる。

$E(\text{白球}) = 0 \times \frac{6}{36} + 1 \times \frac{20}{36} + 2 \times \frac{10}{36} = \frac{20}{36} + \frac{20}{36} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9}$

3. 最終的な答え

赤球の個数の期待値: $\frac{8}{9}$

白球の個数の期待値: $\frac{10}{9}$