サイコロを3回投げたとき、出た目の中で最大の数を $X$ とします。$X$ の分布関数と確率分布を求めます。

1. 問題の内容

サイコロを3回投げたとき、出た目の中で最大の数を $X$ とします。$X$ の分布関数と確率分布を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ が取りうる値の範囲を考えます。サイコロの目は1から6なので、$X$ は1から6の整数値を取ります。

次に、分布関数 $F(x) = P(X \le x)$ を求めます。これは、$X$ が $x$ 以下の値を取る確率です。これは、3回のサイコロの目がすべて $x$ 以下である確率に等しくなります。

各回のサイコロの目が $x$ 以下である確率は $\frac{x}{6}$ なので、3回とも $x$ 以下である確率は $(\frac{x}{6})^3$ となります。したがって、

$F(x) = P(X \le x) = (\frac{x}{6})^3$

次に、確率分布 $P(X=x)$ を求めます。これは、$X$ が正確に $x$ である確率です。これは、$F(x) - F(x-1)$ で計算できます。

$P(X=x) = F(x) - F(x-1) = (\frac{x}{6})^3 - (\frac{x-1}{6})^3$

具体的に計算すると、

* $P(X=1) = (\frac{1}{6})^3 - (\frac{0}{6})^3 = \frac{1}{216}$

* $P(X=2) = (\frac{2}{6})^3 - (\frac{1}{6})^3 = \frac{8}{216} - \frac{1}{216} = \frac{7}{216}$

* $P(X=3) = (\frac{3}{6})^3 - (\frac{2}{6})^3 = \frac{27}{216} - \frac{8}{216} = \frac{19}{216}$

* $P(X=4) = (\frac{4}{6})^3 - (\frac{3}{6})^3 = \frac{64}{216} - \frac{27}{216} = \frac{37}{216}$

* $P(X=5) = (\frac{5}{6})^3 - (\frac{4}{6})^3 = \frac{125}{216} - \frac{64}{216} = \frac{61}{216}$

* $P(X=6) = (\frac{6}{6})^3 - (\frac{5}{6})^3 = \frac{216}{216} - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

3. 最終的な答え

分布関数：

$F(x) = (\frac{x}{6})^3$ ($x=1, 2, 3, 4, 5, 6$)

確率分布：

$P(X=1) = \frac{1}{216}$

$P(X=2) = \frac{7}{216}$

$P(X=3) = \frac{19}{216}$

$P(X=4) = \frac{37}{216}$

$P(X=5) = \frac{61}{216}$

$P(X=6) = \frac{91}{216}$