製品の質 $x$ (0から100の段階評価) とマーケットシェア $y$ (パーセント表示) のデータが与えられています。 1. 回帰分析を行い、製品の質とマーケットシェアの関係を表す回帰式を求めます。

1. 問題の内容

製品の質 $x$ (0から100の段階評価) とマーケットシェア $y$ (パーセント表示) のデータが与えられています。

1. 回帰分析を行い、製品の質とマーケットシェアの関係を表す回帰式を求めます。

2. 製品の質が $x = 100$ の場合のマーケットシェア $y$ を予測します。

3. 決定係数 $R^2$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから、必要な統計量を計算します。

データの個数 $n = 12$

$x$ の合計: $\sum x_i = 27+39+73+66+33+43+47+55+60+68+70+75+82 = 638$

$y$ の合計: $\sum y_i = 2+3+10+9+4+6+5+8+7+9+10+13+12 = 98$

$x$ の平均: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{638}{12} = 53.1667$

$y$ の平均: $\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{98}{12} = 8.1667$

$x_i y_i$ の合計: $\sum x_i y_i = (27)(2)+(39)(3)+(73)(10)+(66)(9)+(33)(4)+(43)(6)+(47)(5)+(55)(8)+(60)(7)+(68)(9)+(70)(10)+(75)(13)+(82)(12) = 6201$

$x_i^2$ の合計: $\sum x_i^2 = 27^2+39^2+73^2+66^2+33^2+43^2+47^2+55^2+60^2+68^2+70^2+75^2+82^2 = 38126$

1. 回帰分析

回帰式を $y = a + bx$ とします。

傾き $b$ と切片 $a$ を求めます。

$b = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{12(6201) - (638)(98)}{12(38126) - (638)^2} = \frac{74412 - 62524}{457512 - 407044} = \frac{11888}{50468} = 0.23556$

$a = \bar{y} - b \bar{x} = 8.1667 - (0.23556)(53.1667) = 8.1667 - 12.5243 = -4.3576$

したがって、回帰式は $y = -4.3576 + 0.23556x$ となります。

2. $x = 100$ の場合の $y$ の予測

$y = -4.3576 + 0.23556(100) = -4.3576 + 23.556 = 19.1984 \approx 19.20$

3. 決定係数 $R^2$ の計算

まず、回帰変動 $S_R$ と残差変動 $S_E$ を計算します。

次に、全変動 $S_T$ を計算します。

最後に、決定係数 $R^2 = \frac{S_R}{S_T}$ を計算します。

全変動 $S_T = \sum (y_i - \bar{y})^2 = (2-8.1667)^2 + (3-8.1667)^2 + (10-8.1667)^2 + (9-8.1667)^2 + (4-8.1667)^2 + (6-8.1667)^2 + (5-8.1667)^2 + (8-8.1667)^2 + (7-8.1667)^2 + (9-8.1667)^2 + (10-8.1667)^2 + (13-8.1667)^2 + (12-8.1667)^2 = 108.6667$

回帰変動 $S_R = \sum (\hat{y_i} - \bar{y})^2 = \sum (a+bx_i - \bar{y})^2 = \sum (-4.3576 + 0.23556 x_i - 8.1667)^2 = \sum (0.23556 x_i - 12.5243)^2 = 73.9502$

決定係数 $R^2 = \frac{S_R}{S_T} = \frac{73.9502}{108.6667} = 0.6804$

3. 最終的な答え

1. 回帰式: $y = -4.3576 + 0.23556x$

2. 製品の質が100の場合のマーケットシェア予測: $19.20$

3. 決定係数: $0.6804$