10本中当たりが4本入っているくじから、同時に5本引くとき、当たりを3本以上引く確率を求めよ。

1. 問題の内容

10本中当たりが4本入っているくじから、同時に5本引くとき、当たりを3本以上引く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を計算します。これは10本から5本を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_5$ で表されます。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

次に、当たりを3本以上引く場合を考えます。これは、当たりを3本引く場合と4本引く場合に分けられます。

(i) 当たりを3本引く場合: 当たり4本から3本を選び、外れ6本から2本を選ぶ組み合わせなので、$_{4}C_3 \times _{6}C_2$ で表されます。

$_{4}C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$_{6}C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

よって、$_{4}C_3 \times _{6}C_2 = 4 \times 15 = 60$

(ii) 当たりを4本引く場合: 当たり4本から4本を選び、外れ6本から1本を選ぶ組み合わせなので、$_{4}C_4 \times _{6}C_1$ で表されます。

$_{4}C_4 = 1$

$_{6}C_1 = 6$

よって、$_{4}C_4 \times _{6}C_1 = 1 \times 6 = 6$

したがって、当たりを3本以上引く場合の数は、60 + 6 = 66 です。

求める確率は、当たりを3本以上引く場合の数を全事象の場合の数で割ったものなので、$\frac{66}{252}$ となります。これを約分すると、$\frac{11}{42}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{11}{42}$