ある工場で製造されている製品の直径は、これまで標準偏差0.5cmで5cmであった。今回25個の標本を抽出したところ、平均が4.8cmであった。直径が5cmを明らかに下回っていると判断できるかを、有意水準5%と1%で検定する。

1. 問題の内容

ある工場で製造されている製品の直径は、これまで標準偏差0.5cmで5cmであった。今回25個の標本を抽出したところ、平均が4.8cmであった。直径が5cmを明らかに下回っていると判断できるかを、有意水準5%と1%で検定する。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定する。

帰無仮説 $H_0$: $\mu = 5$

対立仮説 $H_1$: $\mu < 5$ (片側検定)

(2) 検定統計量を計算する。

標本平均 $\bar{x} = 4.8$

母集団の標準偏差 $\sigma = 0.5$

標本サイズ $n = 25$

検定統計量 $Z$ は以下の式で計算される。

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{4.8 - 5}{\frac{0.5}{\sqrt{25}}} = \frac{-0.2}{0.1} = -2$

(3) 棄却域の境界値を求める。

有意水準5%の場合、片側検定なので、Z分布表から$z_{0.05} = -1.645$となる。

有意水準1%の場合、片側検定なので、Z分布表から$z_{0.01} = -2.33$となる。

(4) 仮説の判定をする。

有意水準5%の場合:

検定統計量 $Z = -2$ が棄却域の境界値 $-1.645$ より小さいので、帰無仮説は棄却される。

有意水準1%の場合:

検定統計量 $Z = -2$ が棄却域の境界値 $-2.33$ より大きいので、帰無仮説は棄却されない。

3. 最終的な答え

帰無仮説 $H_0$: $\mu = 5$

対立仮説 $H_1$: $\mu < 5$

検定統計量: $Z = -2$

棄却域の境界値

(1) $z = -1.645$ (有意水準5%の場合)

(2) $z = -2.33$ (有意水準1%の場合)

判定

(1) 有意水準5%の場合：帰無仮説は棄却される。直径は5cmを下回っていると判断できる。

(2) 有意水準1%の場合：帰無仮説は棄却されない。直径が5cmを下回っているとは判断できない。