問題3：ジョーカーを除く52枚のトランプから1枚引いて戻すことを2回繰り返す。 (1) 2回ともハートが出る確率を求めよ。 (2) 2回目に初めてハートが出る確率を求めよ。 問題4：袋Aには赤玉3個、青玉2個が入っている。袋Bには赤玉7個、青玉3個が入っている。 (1) 袋Aから1個、袋Bから2個取り出すとき、取り出した玉の色がすべて同じである確率を求めよ。 (2) 袋Aに白玉1個を加える。袋Aから玉を1個取り出して色を確認し、元に戻す。これを3回繰り返すとき、すべての色の玉が出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

問題3：ジョーカーを除く52枚のトランプから1枚引いて戻すことを2回繰り返す。

(1) 2回ともハートが出る確率を求めよ。

(2) 2回目に初めてハートが出る確率を求めよ。

問題4：袋Aには赤玉3個、青玉2個が入っている。袋Bには赤玉7個、青玉3個が入っている。

(1) 袋Aから1個、袋Bから2個取り出すとき、取り出した玉の色がすべて同じである確率を求めよ。

(2) 袋Aに白玉1個を加える。袋Aから玉を1個取り出して色を確認し、元に戻す。これを3回繰り返すとき、すべての色の玉が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3：

(1) 1回でハートが出る確率は $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$。

2回ともハートが出る確率は、 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

(2) 1回目にハートが出ず、2回目にハートが出る確率を求める。

1回目にハートが出ない確率は $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$。

2回目にハートが出る確率は $\frac{1}{4}$。

よって、 $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$。

問題4：

(1) 全て同じ色であるためには、2つのパターンが考えられる。

* パターン1：袋Aから赤玉、袋Bから赤玉2個。

* パターン2：袋Aから青玉、袋Bから青玉2個。

パターン1の確率：$\frac{3}{5} \times \frac{7C2}{10C2} = \frac{3}{5} \times \frac{21}{45} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{75} = \frac{7}{25}$

パターン2の確率：$\frac{2}{5} \times \frac{3C2}{10C2} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{45} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{15} = \frac{2}{75}$

よって、求める確率は $\frac{7}{25} + \frac{2}{75} = \frac{21}{75} + \frac{2}{75} = \frac{23}{75}$

(2) 袋Aに白玉1個を加えた場合、袋Aには赤玉3個、青玉2個、白玉1個が入っている。合計6個の玉が入っている。3回繰り返す際に、すべての色が出る確率を求める。これは、赤玉、青玉、白玉が少なくとも1回は出る確率を求めることと同じ。

まず、全事象から余事象（どれかの色が出ない場合）を引くことを考える。

全事象は$6^3$通り。

赤玉が出ない場合 $3^3=27$ 通り (青玉と白玉から３つ取り出す)

青玉が出ない場合 $4^3=64$ 通り (赤玉と白玉から３つ取り出す)

白玉が出ない場合 $5^3=125$ 通り (赤玉と青玉から３つ取り出す)

赤玉と青玉が出ない場合 $1^3=1$ 通り (白玉３つ)

赤玉と白玉が出ない場合 $2^3=8$ 通り (青玉３つ)

青玉と白玉が出ない場合 $3^3=27$ 通り (赤玉３つ)

赤玉、青玉、白玉のどれもが出ない場合は0通り。

包除原理より、少なくともどれか１つの色が出ない確率は

$3^3 + 4^3 + 5^3 - (1^3 + 2^3 + 3^3) + 0=27 + 64 + 125 - (1+8+27)=216-(36)=180$

よって、すべての色が出るのは $6^3 - 180 = 216 - 180 = 36$通り。

確率は $\frac{36}{216} = \frac{1}{6}$。

３．最終的な答え

問題3：

(1) $\frac{1}{16}$

(2) $\frac{3}{16}$

問題4：

(1) $\frac{23}{75}$

(2) $\frac{1}{6}$