1から100までの番号が振られた100枚のカードから1枚を引くとき、その番号が5または8で割り切れる確率を求めます。

## 問題10

1. 問題の内容

1から100までの番号が振られた100枚のカードから1枚を引くとき、その番号が5または8で割り切れる確率を求めます。

2. 解き方の手順

* 5で割り切れる数を数えます。100 ÷ 5 = 20なので、5で割り切れる数は20個です。

* 8で割り切れる数を数えます。100 ÷ 8 = 12.5なので、8で割り切れる数は12個です（小数点以下は切り捨て）。

* 5と8の両方で割り切れる数を数えます。これは5と8の最小公倍数である40で割り切れる数を数えることと同じです。100 ÷ 40 = 2.5なので、40で割り切れる数は2個です。

* 5または8で割り切れる数の個数は、5で割り切れる数 + 8で割り切れる数 - 5と8の両方で割り切れる数で求められます。

$20 + 12 - 2 = 30$

* 確率を計算します。求める確率は、5または8で割り切れる数の個数 / 全体のカードの枚数です。

$\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{10}$

## 問題11

1. 問題の内容

15個の商品の中に不良品が5個ある。この商品を同時に5個取り出すとき、不良品が3個以上含まれる確率を求めます。

2. 解き方の手順

不良品が3個以上含まれる確率を求めるには、次の確率を足し合わせます。

* 不良品が3個含まれる確率

* 不良品が4個含まれる確率

* 不良品が5個含まれる確率

まず、全体の場合の数を計算します。

15個の商品から5個取り出す組み合わせの数は、$_{15}C_5 = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ 通りです。

次に、不良品の個数ごとの組み合わせの数を計算します。

* 不良品が3個の場合：

不良品5個から3個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

良品10個から2個を選ぶ組み合わせは $_{10}C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通り。

この場合の組み合わせの数は $10 \times 45 = 450$ 通り。

* 不良品が4個の場合：

不良品5個から4個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$通り。

良品10個から1個を選ぶ組み合わせは $_{10}C_1 = 10$通り。

この場合の組み合わせの数は $5 \times 10 = 50$ 通り。

* 不良品が5個の場合：

不良品5個から5個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_5 = 1$通り。

この場合の組み合わせの数は $1$ 通り。

不良品が3個以上含まれる組み合わせの数は $450 + 50 + 1 = 501$ 通り。

したがって、不良品が3個以上含まれる確率は $\frac{501}{3003} = \frac{167}{1001}$

3. 最終的な答え

$\frac{167}{1001}$

## 問題12 (1)

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げるとき、少なくとも2個の目が等しい確率を求めます。

2. 解き方の手順

すべての目の出方は $6^3 = 216$通りです。

余事象を利用して考えます。すなわち、「少なくとも2個の目が等しい」の否定は「すべて異なる目が出る」ことです。

すべて異なる目が出る確率を計算します。

1つ目のサイコロの目は何でも良いので6通り、2つ目のサイコロは1つ目のサイコロと異なる必要があるため5通り、3つ目のサイコロは1つ目と2つ目のサイコロと異なる必要があるため4通りです。

したがって、すべて異なる目が出る組み合わせは $6 \times 5 \times 4 = 120$通りです。

すべて異なる目が出る確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$です。

少なくとも2個の目が等しい確率は、1 - (すべて異なる目が出る確率) で計算できます。

$1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$

## 問題12 (2)

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げるとき、3個の目の積が偶数となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

3つの目の積が偶数になるのは、少なくとも1つの目が偶数である場合です。

余事象を利用して考えます。すなわち、「3個の目の積が偶数」の否定は「3個の目の積が奇数」です。

3個の目の積が奇数になるのは、すべての目が奇数である場合です。

サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち、奇数は1, 3, 5 の3つです。

したがって、すべての目が奇数である確率は $(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ です。

3個の目の積が偶数となる確率は、1 - (3個の目の積が奇数となる確率) で計算できます。

$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{8}$