ある高校の男子の身長$X$が、平均$170.9$ cm、標準偏差$5.4$ cmの正規分布に従うとする。 (1) 身長$175$ cm以上の生徒は約何％いるか。 (2) 身長の高い方から$4$％の中に入るのは、約何 cm以上の生徒か。 ただし、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。

1. 問題の内容

ある高校の男子の身長$X$が、平均$170.9$ cm、標準偏差$5.4$ cmの正規分布に従うとする。

(1) 身長$175$ cm以上の生徒は約何％いるか。

(2) 身長の高い方から$4$％の中に入るのは、約何 cm以上の生徒か。

ただし、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) 身長$175$ cm以上の生徒の割合を求める。まず、$X$を標準化する。

標準化された変数を$Z$とすると、

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

ここで、$X = 175$, $\mu = 170.9$, $\sigma = 5.4$なので、

$Z = \frac{175 - 170.9}{5.4} = \frac{4.1}{5.4} \approx 0.759$

$P(X \ge 175) = P(Z \ge 0.759) = 1 - P(Z < 0.759)$

標準正規分布表から$P(Z < 0.76) \approx 0.7764$であるから、

$P(X \ge 175) = 1 - 0.7764 = 0.2236$

したがって、身長が$175$ cm以上の生徒は約$22.4$ %である。

(2) 身長の高い方から$4$％の中に入る身長を求める。

$P(Z \ge z) = 0.04$となるような$z$を求める。

$P(Z < z) = 1 - 0.04 = 0.96$となる$z$を探す。

標準正規分布表から$P(Z < 1.75) \approx 0.9599$, $P(Z < 1.76) \approx 0.9608$であるので、$z \approx 1.75$とする。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$より、$X = \mu + Z \sigma$

$X = 170.9 + 1.75 \times 5.4 = 170.9 + 9.45 = 180.35$

したがって、身長の高い方から$4$％の中に入るのは、約$180.4$ cm以上の生徒である。

3. 最終的な答え

(1) 約$22.4$%

(2) 約$180.4$ cm