## 問題の解答

## 問題の解答

### 問題の内容

1. **無記名投票の問題:** 3人の候補者に対し、8人の投票者が無記名で投票する場合の、票の分かれ方の総数を求めます。ただし、候補者は投票できないものとします。

2. **方程式の解の問題:** 正の整数 $x, y, z$ が方程式 $x + y + z = 9$ を満たす組の総数を求めます。

3. **確率の問題 (サイコロ):** 2つのサイコロを同時に投げたとき、(1) 目の和が5の倍数になる確率、(2) 目の積が6になる確率を求めます。

### 解き方の手順

1. **無記名投票の問題:**

これは、8個の同じものを3つの異なる箱（候補者）に入れる場合の数を求める問題です。ただし、各箱には0個以上のものが入っても良いとします。この問題は、重複組み合わせの問題として知られています。

$n$ 個のものから $r$ 個を選ぶ重複組み合わせの数は ${}_{n+r-1}C_r$ で表されます。

この問題では、$n = 3$（候補者の数）と $r = 8$（投票者の数）なので、求める総数は ${}_{3+8-1}C_8 = {}_{10}C_8$ となります。

${}_{10}C_8 = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

2. **方程式の解の問題:**

正の整数 $x, y, z$ が $x + y + z = 9$ を満たす組の数を求めます。

まず、$x = x' + 1, y = y' + 1, z = z' + 1$ とおきます。ここで、$x', y', z'$ は0以上の整数です。

すると、元の式は $(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 9$ となり、$x' + y' + z' = 6$ と変形できます。

この問題は、6個の同じものを3つの異なる箱に入れる場合の数を求める問題で、各箱には0個以上のものが入っても良いとします。これは重複組み合わせの問題です。

$n = 3$（変数の数）と $r = 6$ なので、求める総数は ${}_{3+6-1}C_6 = {}_{8}C_6$ となります。

${}_{8}C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. **確率の問題 (サイコロ):**

(1) 目の和が5の倍数になる確率:

2つのサイコロの目の和は最小で2、最大で12です。この範囲で5の倍数になるのは5と10です。

和が5になる組み合わせは、(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の4通りです。

和が10になる組み合わせは、(4, 6), (5, 5), (6, 4) の3通りです。

したがって、目の和が5の倍数になる組み合わせは合計で4 + 3 = 7通りです。

2つのサイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{7}{36}$ です。

(2) 目の積が6になる確率:

目の積が6になる組み合わせは、(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) の4通りです。

2つのサイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ です。

### 最終的な答え

1. **無記名投票の問題:** 45通り

2. **方程式の解の問題:** 28組

3. **確率の問題 (サイコロ):**

(1) 目の和が5の倍数になる確率: $\frac{7}{36}$

(2) 目の積が6になる確率: $\frac{1}{9}$