異なる色の9個の玉を、A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける分け方は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける分け方は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、Aの組に入れる3個の玉を選ぶ組み合わせを考えます。9個の玉から3個を選ぶので、その組み合わせは $_{9}C_{3}$ 通りです。

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

次に、Bの組に入れる3個の玉を選びます。Aの組に3個の玉を入れたので、残りの玉は6個です。その6個から3個を選ぶので、その組み合わせは $_{6}C_{3}$ 通りです。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

最後に、Cの組に入れる3個の玉を選びます。AとBの組にそれぞれ3個ずつ玉を入れたので、残りの玉は3個です。その3個から3個を選ぶので、その組み合わせは $_{3}C_{3}$ 通りです。

$_{3}C_{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、A, B, Cの組に玉を割り当てる総組み合わせ数は、$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通りとなります。

しかし、A, B, Cの組には区別があるので、A, B, C の順序を考慮する必要はありません。もし組に区別がない場合は、上記の組み合わせ数を組の順列で割る必要がありますが、今回はA, B, Cという名前がついて区別があるので、これで正しいです。

3. 最終的な答え

1680通り