先生3人と生徒6人が円形のテーブルに向かって座るとき、先生3人の間に生徒が2人ずつ座るような座り方は何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

先生3人と生徒6人が円形のテーブルに向かって座るとき、先生3人の間に生徒が2人ずつ座るような座り方は何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、先生3人の座り方を考えます。円形テーブルなので、1人を固定して考えると、残りの2人の座り方は $(3-1)! = 2! = 2$ 通りです。

次に、先生3人の間に生徒が2人ずつ座る座り方を考えます。先生の間は3箇所あり、それぞれの間に2人ずつ生徒が座ります。

6人の生徒を2人ずつの3つのグループに分ける方法は、まず6人から2人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人を選ぶ方法です。しかし、3つのグループに区別がないので、3!で割る必要があります。

よって、生徒の分け方は $\frac{{6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$ 通りです。

3つのグループの座る場所は決まっているので、それぞれのグループの中で生徒の座り方を考えます。それぞれのグループで2人が並ぶ方法は$2!$通りです。3つのグループがあるので、$(2!)^3 = 2^3 = 8$ 通りです。

したがって、座り方の総数は、先生の座り方 $\times$ 生徒の分け方 $\times$ 各グループの座り方で計算できます。

$2 \times 15 \times 8 = 240$

3. 最終的な答え

240通り