袋の中に赤玉5個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋の中から、同時に3個の玉を取り出すとき、それらに含まれる玉の色の種類の数をXとする。確率変数Xの期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋の中から、同時に3個の玉を取り出すとき、それらに含まれる玉の色の種類の数をXとする。確率変数Xの期待値を求める。

2. 解き方の手順

期待値を求めるために、Xが1, 2, 3となる確率をそれぞれ計算し、期待値の定義に基づいて計算します。

まず、3個の玉を取り出す方法の総数を計算します。これは、全部で10個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$通りです。

次に、X = 1となる確率を計算します。これは、3個とも同じ色の場合です。

- 3個とも赤玉の場合：$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$通り

- 3個とも白玉の場合：$_{3}C_3 = 1$通り

- 3個とも青玉の場合：0通り (青玉は2個しかないため)

したがって、X = 1となる場合は10 + 1 = 11通りなので、$P(X=1) = \frac{11}{120}$。

次に、X = 2となる確率を計算します。これは、3個の玉が2種類の色から選ばれる場合です。

- 赤と白の場合: $(_{5}C_2 \times _{3}C_1) + (_{5}C_1 \times _{3}C_2) = (10 \times 3) + (5 \times 3) = 30 + 15 = 45$

- 赤と青の場合: $(_{5}C_2 \times _{2}C_1) + (_{5}C_1 \times _{2}C_2) = (10 \times 2) + (5 \times 1) = 20 + 5 = 25$

- 白と青の場合: $(_{3}C_2 \times _{2}C_1) + (_{3}C_1 \times _{2}C_2) = (3 \times 2) + (3 \times 1) = 6 + 3 = 9$

したがって、X = 2となる場合は45 + 25 + 9 = 79通りなので、$P(X=2) = \frac{79}{120}$。

最後に、X = 3となる確率を計算します。これは、3個の玉がすべて異なる色の場合です。

取り出し方は、赤玉1個、白玉1個、青玉1個を選ぶので、$_{5}C_1 \times _{3}C_1 \times _{2}C_1 = 5 \times 3 \times 2 = 30$通り。

したがって、$P(X=3) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}$。

確率変数の期待値は、

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 1 \times \frac{11}{120} + 2 \times \frac{79}{120} + 3 \times \frac{30}{120} = \frac{11 + 158 + 90}{120} = \frac{259}{120}$

3. 最終的な答え

$\frac{259}{120}$