袋の中に赤球 $a$ 個、青球 $b$ 個、白球 $c$ 個の合計 100 個が入っている。この袋から無作為に 1 個の球を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を $n$ 回繰り返す。赤球を取り出した回数を $X$ とすると、$X$ の分布の平均が $\frac{16}{5}$、分散が $\frac{64}{25}$ であるとき、袋の中の赤球の個数 $a$ と試行回数 $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球 $a$ 個、青球 $b$ 個、白球 $c$ 個の合計 100 個が入っている。この袋から無作為に 1 個の球を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を $n$ 回繰り返す。赤球を取り出した回数を $X$ とすると、$X$ の分布の平均が $\frac{16}{5}$、分散が $\frac{64}{25}$ であるとき、袋の中の赤球の個数 $a$ と試行回数 $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ は二項分布に従うので、$X \sim B(n, p)$ と表せる。ここで、$p$ は赤球を取り出す確率であり、$p = \frac{a}{100}$ である。

二項分布の平均と分散はそれぞれ $E(X) = np$、$V(X) = np(1-p)$ で与えられる。

問題文より、$E(X) = \frac{16}{5}$、$V(X) = \frac{64}{25}$ であるから、以下の2つの式が成り立つ。

$np = \frac{16}{5}$

$np(1-p) = \frac{64}{25}$

(1)式を(2)式に代入すると、

$\frac{16}{5}(1-p) = \frac{64}{25}$

$1-p = \frac{64}{25} \times \frac{5}{16} = \frac{4}{5}$

$p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$p = \frac{a}{100}$ より、

$\frac{a}{100} = \frac{1}{5}$

$a = \frac{100}{5} = 20$

(1)式に $p = \frac{1}{5}$ を代入すると、

$n \times \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$

$n = \frac{16}{5} \times 5 = 16$

3. 最終的な答え

赤球の個数 $a = 20$

試行回数 $n = 16$