3つのサイコロを同時に投げたとき、以下のそれぞれの事象が起こる確率を求める。 (1) 少なくとも1個は6の目が出る。 (2) 目の積が偶数になる。 (3) 小、中、大の順に、出る目が大きくなる。 (4) 目の積が20になる。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げたとき、以下のそれぞれの事象が起こる確率を求める。

(1) 少なくとも1個は6の目が出る。

(2) 目の積が偶数になる。

(3) 小、中、大の順に、出る目が大きくなる。

(4) 目の積が20になる。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1個は6の目が出る確率

* 全事象は $6^3 = 216$通り

* 3個とも6の目が出ない確率は $5^3 = 125$通り

* 少なくとも1個6の目が出る確率は $1 - \frac{125}{216} = \frac{216-125}{216} = \frac{91}{216}$

(2) 目の積が偶数になる確率

* 全事象は $6^3 = 216$通り

* 目の積が奇数になるのは、3つとも奇数の場合なので、$3^3 = 27$通り

* 目の積が偶数になる確率は $1 - \frac{27}{216} = \frac{216-27}{216} = \frac{189}{216} = \frac{7}{8}$

(3) 小、中、大の順に、出る目が大きくなる確率

* これは、3つの異なる数字を選ぶ組み合わせの数と等しい。重複はない。

* 6つの数字から3つの異なる数字を選ぶ組み合わせは ${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り

* 全事象は $6^3 = 216$通り

* 求める確率は $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$

(4) 目の積が20になる確率

* 目の積が20になる組み合わせは、(1, 4, 5), (2, 2, 5) の2種類。

* (1, 4, 5)の順列は $3! = 6$通り

* (2, 2, 5)の順列は $\frac{3!}{2!} = 3$通り

* 合計 $6 + 3 = 9$通り

* 全事象は $6^3 = 216$通り

* 求める確率は $\frac{9}{216} = \frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 少なくとも1個は6の目が出る確率: $\frac{91}{216}$

(2) 目の積が偶数になる確率: $\frac{7}{8}$

(3) 小、中、大の順に、出る目が大きくなる確率: $\frac{5}{54}$

(4) 目の積が20になる確率: $\frac{1}{24}$