問題用紙に記載された複数の確率・組合せに関する問題を解く。具体的には、文字列の並べ方、グループ分けの仕方、最短経路の数え上げ、果物の選び方、確率の計算、期待値の計算など、様々な種類の問題が含まれている。

1. 問題の内容

問題用紙に記載された複数の確率・組合せに関する問題を解く。具体的には、文字列の並べ方、グループ分けの仕方、最短経路の数え上げ、果物の選び方、確率の計算、期待値の計算など、様々な種類の問題が含まれている。

2. 解き方の手順

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1. (1) 文字列の並べ方**

* ① ADDRESSの7文字を全て並べる順列の総数を求める。同じ文字(S)が2つあることに注意する。

* ② RとEがこの順にある並べ方を考える。まず、RとEを同じ文字と考えて並べ、後で順番を考慮する。

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1. (2) グループ分け**

* ① 9人を3人ずつの3つの部屋に分ける組み合わせを計算する。

* ② 9人を3人ずつの3つの組に分ける組み合わせを計算する。部屋と組の違いに注意する。

* ③ 11人を2人、2人、2人、2人、1人の5組に分ける組み合わせを計算する。

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1. (3) 最短経路**

* ① AからBへの最短経路の数を数える。

* ② AからCを通りBへの最短経路の数を数える。

* ③ ×を通らないAからBへの最短経路の数を求める。全経路から×を通る経路を引く。

* ④ ×を通らないが、Cを通ってAからBまで行く経路の数を求める。Cを通る全経路からCを通って×を通る経路を引く。

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1. (4) 果物の選び方**

* ① リンゴ、バナナ、メロンの3種類から重複を許して6個取る組み合わせを計算する。

* ② どの種類も少なくとも1つは選ぶ場合の組み合わせを計算する。全組み合わせから、1種類または2種類しか選ばない場合を引く。

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4. (1) 白玉の確率**

* 白玉の個数を$n$として、2個とも白玉である確率を$n$の式で表す。全組み合わせ数は$\binom{7}{2}$で、2個とも白玉の組み合わせ数は$\binom{n}{2}$である。確率は$\frac{\binom{n}{2}}{\binom{7}{2}} = \frac{5}{7}$と表される。

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4. (2) 白玉の個数**

* (1)で求めた式から$n$を求める。$\frac{\binom{n}{2}}{\binom{7}{2}} = \frac{5}{7}$を解く。

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5. (1) P=1の確率**

* さいころを5回投げてP=1となる確率を求める。P=1となるためには、+2が$x$回、-1が$y$回出たとして、$2x - y = 1$かつ$x + y = 5$を満たす必要がある。これを解くと、$x=2, y=3$。したがって、+2が2回、-1が3回出る確率を計算する。

* 確率は、$\binom{5}{2} (\frac{4}{6})^2 (\frac{2}{6})^3$。

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5. (2) P<7の確率**

* P<7となる確率を求める。全事象からP>=7となる確率を引く方が簡単かもしれない。

* P>=7となるのは、+2が4回以上出る場合なので、+2が4回または5回出る確率を計算する。

* P<7の確率は、1 - (P>=7の確率)。

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6. (1) アの期待値**

* 赤玉が1個出る確率は$\frac{4}{7}$なので、3回繰り返した場合の赤玉の個数の期待値は$3 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7}$個。

* 期待値は$\frac{12}{7} \times 350$円。

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6. (2) イの期待値**

* 白玉がちょうど3回出る確率は、$\binom{3}{3} (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = (\frac{3}{7})^3$。

* したがって、イの場合の賞金を得られる確率を計算し、期待値を求める。

* アとイの期待値を比較して、どちらが得かを判断する。

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2. (1) 並び方**

* ① Aが左から2番目、Bが左から4番目になる確率を求める。

* ② A, Bが隣り合う確率を求める。

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2. (2) 玉の確率**

* ① 赤玉2個が出る確率を求める。

* ② 同色の玉が出る確率を求める。赤玉2個、白玉2個が出る確率の和を求める。

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2. (3) サイコロの確率**

* ① 少なくとも1個は6の目が出る確率を求める。余事象を考える。

* ② 目の積が偶数になる確率を求める。余事象を考える。

* ③ 小中大の順に出る目が大きくなる確率を求める。

* ④ 目の積が20になる確率を求める。

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2. (4) くじ引き**

* ① Bが当たる確率を求める。

* ② Bが当たったとき、Aも当たっている条件付き確率を求める。

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3. (1) 全て表**

* 6回とも表が出る確率を求める。

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3. (2) 4回以上表**

* 4回、5回、6回表が出る確率の和を求める。

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3. (3) 6回目に3回目の表**

* 6回目に3回目の表が出る確率を求める。5回目までに表が2回出て、6回目に表が出る確率を計算する。

3. 最終的な答え

上記の手順に従って計算し、個々の問題に対する最終的な答えをそれぞれ求める。

（具体的な数値計算は省略）