袋の中に赤玉と青玉が合計12個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$である。赤玉の個数を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉と青玉が合計12個入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$である。赤玉の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、赤玉の個数を$x$とおく。すると、青玉の個数は$12-x$となる。

袋から2個の玉を取り出す方法は全部で$_{12}C_2$通りである。

そのうち、2個とも赤玉である方法は$_{x}C_2$通りである。

したがって、2個とも赤玉である確率は $\frac{_{x}C_2}{_{12}C_2}$ となる。

問題文より、この確率は$\frac{14}{33}$であるから、

$\frac{_{x}C_2}{_{12}C_2} = \frac{14}{33}$ という式が成り立つ。

$_{x}C_2 = \frac{x(x-1)}{2}$ であり、 $_{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ であるから、

$\frac{\frac{x(x-1)}{2}}{66} = \frac{14}{33}$

$\frac{x(x-1)}{2 \times 66} = \frac{14}{33}$

$x(x-1) = \frac{14}{33} \times 2 \times 66 = 14 \times 4 = 56$

$x^2 - x - 56 = 0$

$(x-8)(x+7) = 0$

$x=8$ または $x=-7$

赤玉の個数$x$は正の整数なので、$x=8$。

3. 最終的な答え

8個