原点Oから出発して座標平面上を動く点Pがある。さいころを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。さいころを6回投げたあとのPのx座標、y座標をそれぞれX、Yとするとき、Xの期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから出発して座標平面上を動く点Pがある。さいころを投げて1,2,3,4の目が出たらx軸の方向に+1だけ移動し、それ以外の目が出たらy軸の方向に+1だけ移動する。さいころを6回投げたあとのPのx座標、y座標をそれぞれX、Yとするとき、Xの期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

さいころを1回投げて、x軸方向に+1移動する確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、y軸方向に+1移動する確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

Xは二項分布に従うので、$X \sim B(6, \frac{2}{3})$ となる。

二項分布の期待値は $E(X) = np$ で、分散は $V(X) = np(1-p)$ で求められる。

今回の問題では、$n = 6$, $p = \frac{2}{3}$ であるから、

$E(X) = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

$V(X) = 6 \times \frac{2}{3} \times (1 - \frac{2}{3}) = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

期待値：4

分散：$\frac{4}{3}$