大、中、小の3つのサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 3つの目がすべて異なる確率 (2) 大、中、小の順に目が小さくなる確率 (3) 出た目の最大値が4以下の確率 (4) 出た目の最大値が4である確率 (5) 出た目の和が10である確率

1. 問題の内容

大、中、小の3つのサイコロを同時に投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 3つの目がすべて異なる確率

(2) 大、中、小の順に目が小さくなる確率

(3) 出た目の最大値が4以下の確率

(4) 出た目の最大値が4である確率

(5) 出た目の和が10である確率

2. 解き方の手順

(1) 3つの目がすべて異なる確率

3つのサイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りです。

3つの目がすべて異なる場合は、大、中、小の順に6, 5, 4のように出ると考えられます。

大のサイコロは6通りの出方があり、中のサイコロは大のサイコロの目以外の5通りの出方があり、小のサイコロは大小のサイコロの目以外の4通りの出方があります。

したがって、3つの目がすべて異なる場合の数は $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

求める確率は $\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ です。

(2) 大、中、小の順に目が小さくなる確率

大小中の目が全て異なるとき、目の組み合わせは $_6C_3$ 通りあります。この組み合わせに対して、大小中の順に目が小さくなる組み合わせは1つしかありません。

目の組み合わせは

$_6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りです。

したがって、求める確率は $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ です。

(3) 出た目の最大値が4以下の確率

3つのサイコロの目がすべて1, 2, 3, 4のいずれかである必要があります。

したがって、この確率は $\frac{4^3}{6^3} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$ です。

(4) 出た目の最大値が4である確率

出た目の最大値が4である場合は、少なくとも1つは4が出て、残りの2つのサイコロは1, 2, 3, 4のいずれかである必要があります。

最大値が4以下の場合は $4^3 = 64$ 通りです。

最大値が3以下の場合は $3^3 = 27$ 通りです。

したがって、最大値が4である場合は $64 - 27 = 37$ 通りです。

求める確率は $\frac{37}{216}$ です。

(5) 出た目の和が10である確率

目の和が10になる組み合わせを考えます。

(1, 3, 6) -> 6通り

(1, 4, 5) -> 6通り

(2, 2, 6) -> 3通り

(2, 3, 5) -> 6通り

(2, 4, 4) -> 3通り

(3, 3, 4) -> 3通り

合計 $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$ 通りです。

求める確率は $\frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{9}$

(2) $\frac{5}{54}$

(3) $\frac{8}{27}$

(4) $\frac{37}{216}$

(5) $\frac{1}{8}$