袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っています。袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$とします。 (1) $a+b=2$となる確率を求めます。 (2) $a+b=3$となる確率を求め、さらに$a+b$の期待値を求めます。

1. 問題の内容

袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っています。袋Aから取り出したカードの数を$a$, 袋Bから取り出したカードの数を$b$とします。

(1) $a+b=2$となる確率を求めます。

(2) $a+b=3$となる確率を求め、さらに$a+b$の期待値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a+b=2$となるのは、$a=1$かつ$b=1$のときのみです。

袋Aから1を取り出す確率は$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$です。

袋Bから1を取り出す確率は$\frac{1}{4}$です。

したがって、$a+b=2$となる確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

(2) $a+b=3$となるのは、$(a, b) = (1, 2)$または$(a, b) = (2, 1)$のときです。

$a=1$かつ$b=2$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

$a=2$かつ$b=1$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

したがって、$a+b=3$となる確率は、$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$a+b$が取りうる値は、2, 3, 4, 5です。それぞれの確率を計算します。

$a+b = 2$となる確率は(1)より$\frac{1}{8}$です。

$a+b = 3$となる確率は(2)より$\frac{1}{4}$です。

$a+b = 4$となるのは、$(a, b) = (1, 3)$または$(a, b) = (2, 2)$のときです。

$a=1$かつ$b=3$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

$a=2$かつ$b=2$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

したがって、$a+b=4$となる確率は、$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

$a+b = 5$となるのは、$(a, b) = (2, 3)$のときです。

$a=2$かつ$b=3$となる確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$

したがって、$a+b$の期待値は、

$2 \times \frac{1}{8} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{3}{8} + 5 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{8} + \frac{6}{8} + \frac{12}{8} + \frac{10}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b=2$となる確率は$\frac{1}{8}$です。

(2) $a+b=3$となる確率は$\frac{1}{4}$です。

$a+b$の期待値は$\frac{15}{4}$です。