女子5人、男子3人が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。以下の4つの条件における並び方の数を求めます。 (1) 女子5人が続いて並ぶ。 (2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。 (3) 両端が男子である。 (4) どの男子も隣り合わない。

1. 問題の内容

女子5人、男子3人が1列に並ぶときの並び方の総数を求める問題です。以下の4つの条件における並び方の数を求めます。

(1) 女子5人が続いて並ぶ。

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。

(3) 両端が男子である。

(4) どの男子も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合

女子5人を1つのグループとして考えます。すると、このグループと男子3人の合計4つの要素を並べることになります。

4つの要素の並べ方は $4!$ 通りあります。

女子5人の中で並び方は $5!$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $4! \times 5!$ です。

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合

女子5人を1つのグループ、男子3人を1つのグループとして考えます。

2つのグループの並べ方は $2!$ 通りあります。

女子5人の中で並び方は $5!$ 通りあります。

男子3人の中で並び方は $3!$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $2! \times 5! \times 3!$ です。

(3) 両端が男子である場合

両端に男子を配置する方法は $3 \times 2 = 6$ 通りあります。

残りの6人の並び方は $6!$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $6 \times 6!$ です。

(4) どの男子も隣り合わない場合

まず、女子5人を並べます。これは $5!$ 通りあります。

女子5人の間にできる6つの隙間（両端を含む）から3つを選び、そこに男子を1人ずつ配置します。

6つの隙間から3つを選ぶ方法は ${}_6P_3$ 通りあります。

したがって、並び方の総数は $5! \times {}_6P_3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合：

$4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ 通り

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合：

$2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$ 通り

(3) 両端が男子である場合：

$6 \times 6! = 6 \times 720 = 4320$ 通り

(4) どの男子も隣り合わない場合：

$5! \times {}_6P_3 = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り