8個の球が入った袋があり、そのうち4個には10点、残りの4個には20点が書かれています。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した10点の球の数をX、合計点数をYとします。Yの分散を求める問題です。

1. 問題の内容

8個の球が入った袋があり、そのうち4個には10点、残りの4個には20点が書かれています。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した10点の球の数をX、合計点数をYとします。Yの分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

Yは合計点数なので、取り出した10点の球の数Xを用いて、$Y = 10X + 20(3-X) = 60 - 10X$ と表せます。

分散の性質より、$V(aX+b) = a^2V(X)$なので、$V(Y) = V(60-10X) = (-10)^2V(X) = 100V(X)$となります。

したがって、$X$の分散を求めればよいことがわかります。

$X$は3個の球を取り出したときの10点の球の数なので、これは超幾何分布に従います。

母集団のサイズを$N$、当たりくじの数を$K$、試行回数を$n$とすると、超幾何分布の分散は$V(X) = n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1}$で与えられます。

この問題では、$N=8$, $K=4$, $n=3$なので、

$V(X) = 3\frac{4}{8}\frac{8-4}{8}\frac{8-3}{8-1} = 3\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{5}{7} = \frac{15}{28}$

よって、$V(Y) = 100V(X) = 100 \times \frac{15}{28} = \frac{1500}{28} = \frac{375}{7}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{375}{7}$