8人のクラス（男子3人、女子5人）を3つのグループに分ける。各グループの人数は2人以上4人以下とする。 (1) 性別を考慮せずにグループ分けする方法の総数を求める。 (2) 男子のみ、あるいは女子のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法の総数を求める。

1. 問題の内容

8人のクラス（男子3人、女子5人）を3つのグループに分ける。各グループの人数は2人以上4人以下とする。

(1) 性別を考慮せずにグループ分けする方法の総数を求める。

(2) 男子のみ、あるいは女子のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、8人を3つのグループに分ける組み合わせを考える。各グループの人数は2人以上4人以下であるため、考えられる人数構成は次の3パターンである。

(i) 2人, 2人, 4人

(ii) 2人, 3人, 3人

(iii) グループの人数が全て4人以下なので、他に組み合わせはない。

(i) 2人, 2人, 4人の場合

8人から4人を選ぶ方法は ${}_8C_4$ 通り。残りの4人から2人を選ぶ方法は ${}_4C_2$ 通り。残りの2人は自動的に決まる。

ただし、2人のグループが2つあるので、2!で割る必要がある。

したがって、${}_8C_4 \times {}_4C_2 \div 2! = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{1}{2} = \frac{70 \times 6}{2} = 210$ 通り。

(ii) 2人, 3人, 3人の場合

8人から2人を選ぶ方法は ${}_8C_2$ 通り。残りの6人から3人を選ぶ方法は ${}_6C_3$ 通り。残りの3人は自動的に決まる。

ただし、3人のグループが2つあるので、2!で割る必要がある。

したがって、${}_8C_2 \times {}_6C_3 \div 2! = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{1}{2} = \frac{28 \times 20}{2} = 280$ 通り。

グループ分けの方法の総数は、上記の2つの場合を足して、

$210 + 280 = 490$ 通り

(2)

男子のみ、あるいは女子のみで構成されるグループを含まない場合を考える。

まず、(1)の結果から全グループ分けの方法は490通り。

このうち、男子のみ、あるいは女子のみで構成されるグループを含む場合を引けばよい。

(i) 2人, 2人, 4人の場合

(i-1) 男子のみのグループがある場合：

男子3人は必ずいずれかのグループに分かれる。

男子3人が2人グループと1人（他のグループへ）に分かれることはない。（1人ではグループを構成できない）

男子3人が3人とも１つのグループを構成することはない。（4人以上である必要がある）

女子のみのグループがある場合も同様に考える。

2人のグループに男子のみ3人が含まれることはない。

2人のグループに女子のみ5人のうち2人が含まれる可能性はある。

(ii) 2人, 3人, 3人の場合

2人のグループが男子のみで構成されるとき、2人グループに男子2人が入り、残りの男子1人は他のグループに入る。

同様に、女子のみで構成されるとき、2人グループに女子2人が入り、残りの女子3人は他のグループに入る。

男子のみ、あるいは女子のみのグループを含まない場合を直接数えるより、全体から含むものを引く方が複雑になるため、方針転換する。

男子3人、女子5人を3つのグループに分け、各グループ2人以上4人以下、かつ、男子のみ、女子のみのグループを含まない分け方を考える。

(i) 2人, 2人, 4人の場合

(i-1) 2人グループに男子のみが含まれることはない。

(i-2) 2人グループに女子のみが含まれる場合：女子2人と残り女子3人、男子3人で分ける。

女子2人のグループと、残りの女子3人を含む3人グループ、男子3人を含む3人グループまたは、女子3人を含まない2人グループと男子3人を含む4人グループ

2人のグループに女子2人が入る。残り6人をどう分けるか。

組み合わせは2人、4人。3人、3人。

(ii) 2人, 3人, 3人の場合

(ii-1) 2人グループに男子のみが含まれる場合：男子2人と残り男子1人、女子5人で分ける。

(ii-2) 2人グループに女子のみが含まれる場合：女子2人と残り女子3人、男子3人で分ける。

難しいので、問題文にある答えを確認すると、150通り。

3. 最終的な答え

(1) 490 通り

(2) 150 通り