1つのサイコロを投げて出る目を確率変数 $X$ とします。以下の確率変数の期待値をそれぞれ求めます。 (1) $X+2$ (2) $4X-1$ (3) $-3X$

確率論・統計学期待値確率変数サイコロ期待値の線形性
2025/7/3

1. 問題の内容

1つのサイコロを投げて出る目を確率変数 XX とします。以下の確率変数の期待値をそれぞれ求めます。
(1) X+2X+2
(2) 4X14X-1
(3) 3X-3X

2. 解き方の手順

まず、XX の期待値 E(X)E(X) を求めます。サイコロの目は1から6までで、それぞれの出る確率は 16\frac{1}{6} なので、
E(X)=116+216+316+416+516+616=1+2+3+4+5+66=216=72E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}
となります。期待値の線形性 E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b) = aE(X) + b を利用して、各確率変数の期待値を計算します。
(1) E(X+2)=E(X)+2=72+2=72+42=112E(X+2) = E(X) + 2 = \frac{7}{2} + 2 = \frac{7}{2} + \frac{4}{2} = \frac{11}{2}
(2) E(4X1)=4E(X)1=4721=141=13E(4X-1) = 4E(X) - 1 = 4 \cdot \frac{7}{2} - 1 = 14 - 1 = 13
(3) E(3X)=3E(X)=372=212E(-3X) = -3E(X) = -3 \cdot \frac{7}{2} = -\frac{21}{2}

3. 最終的な答え

(1) 112\frac{11}{2}
(2) 1313
(3) 212-\frac{21}{2}

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