袋の中に数字1が書かれたカードが2枚、数字2が書かれたカードが3枚、数字3が書かれたカードが5枚、合計10枚のカードが入っています。この袋から1枚カードを取り出し、数字を確認した後、袋に戻すことを2回繰り返します。このとき、標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma(\overline{X})$を求める問題です。

1. 問題の内容

袋の中に数字1が書かれたカードが2枚、数字2が書かれたカードが3枚、数字3が書かれたカードが5枚、合計10枚のカードが入っています。この袋から1枚カードを取り出し、数字を確認した後、袋に戻すことを2回繰り返します。このとき、標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma(\overline{X})$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、母集団の平均$\mu$と標準偏差$\sigma$を求めます。

次に、標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma(\overline{X})$の公式を使って計算します。

* 母集団の平均$\mu$の計算:

母集団は1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3 の10個の数字で構成されています。

$\mu = \frac{1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 5}{10} = \frac{2 + 6 + 15}{10} = \frac{23}{10} = 2.3$

* 母集団の分散$\sigma^2$の計算:

$\sigma^2 = \frac{(1-\mu)^2 \times 2 + (2-\mu)^2 \times 3 + (3-\mu)^2 \times 5}{10}$

$\sigma^2 = \frac{(1-2.3)^2 \times 2 + (2-2.3)^2 \times 3 + (3-2.3)^2 \times 5}{10}$

$\sigma^2 = \frac{(-1.3)^2 \times 2 + (-0.3)^2 \times 3 + (0.7)^2 \times 5}{10}$

$\sigma^2 = \frac{1.69 \times 2 + 0.09 \times 3 + 0.49 \times 5}{10}$

$\sigma^2 = \frac{3.38 + 0.27 + 2.45}{10} = \frac{6.1}{10} = 0.61$

* 母集団の標準偏差$\sigma$の計算:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{0.61}$

* 標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma(\overline{X})$の計算:

標本サイズ$n=2$なので、$\sigma(\overline{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{0.61}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{0.61}{2}} = \sqrt{0.305} = \sqrt{\frac{305}{1000}} = \sqrt{\frac{61}{200}} = \sqrt{\frac{122}{400}} = \frac{\sqrt{122}}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{122}}{20}$