確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、指定された確率を求めます。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $f(x) = 0.5$ ($0 \le x \le 2$)のとき、$P(0 \le X \le 1)$ を求める。 (2) $f(x) = x$ ($0 \le x \le \sqrt{2}$)のとき、$P(0 \le X \le \sqrt{2})$ を求める。

確率論・統計学確率確率密度関数積分
2025/7/2
## 解答

1. 問題の内容

確率密度関数 f(x)f(x) が与えられたとき、指定された確率を求めます。具体的には、以下の2つの問題があります。
(1) f(x)=0.5f(x) = 0.5 (0x20 \le x \le 2)のとき、P(0X1)P(0 \le X \le 1) を求める。
(2) f(x)=xf(x) = x (0x20 \le x \le \sqrt{2})のとき、P(0X2)P(0 \le X \le \sqrt{2}) を求める。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=0.5f(x) = 0.5 (0x20 \le x \le 2) の場合:
確率 P(0X1)P(0 \le X \le 1) は、確率密度関数 f(x)f(x) を区間 [0,1][0, 1] で積分することで求められます。
P(0X1)=01f(x)dx P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx
与えられた確率密度関数を代入すると、
P(0X1)=010.5dx=0.501dx=0.5[x]01=0.5(10)=0.5 P(0 \le X \le 1) = \int_{0}^{1} 0.5 \, dx = 0.5 \int_{0}^{1} dx = 0.5 [x]_{0}^{1} = 0.5 (1 - 0) = 0.5
(2) f(x)=xf(x) = x (0x20 \le x \le \sqrt{2}) の場合:
確率 P(0X2)P(0 \le X \le \sqrt{2}) は、確率密度関数 f(x)f(x) を区間 [0,2][0, \sqrt{2}] で積分することで求められます。
P(0X2)=02f(x)dx P(0 \le X \le \sqrt{2}) = \int_{0}^{\sqrt{2}} f(x) \, dx
与えられた確率密度関数を代入すると、
P(0X2)=02xdx=[x22]02=(2)22022=22=1 P(0 \le X \le \sqrt{2}) = \int_{0}^{\sqrt{2}} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{2}{2} = 1

3. 最終的な答え

(1) P(0X1)=0.5P(0 \le X \le 1) = 0.5
(2) P(0X2)=1P(0 \le X \le \sqrt{2}) = 1

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