美術部、書道部、合唱部の部員が3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。 (1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残り6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。 (2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。 (3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りか。

1. 問題の内容

美術部、書道部、合唱部の部員が3人ずつ、合計9人いる。この9人を2人、3人、4人の3つのグループに分ける。

(1) 美術部の部員だけで3人のグループを作る。残り6人から2人を選ぶ選び方は何通りか。

(2) グループの分け方は全部で何通りか。また、各グループに美術部の部員が1人ずつ入るような分け方は何通りか。

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は何通りか。また、どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、美術部の3人全員で3人のグループを作るので、これは1通り。

次に、残りの6人から2人を選ぶ。これは組み合わせの問題なので、

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、答えは $1 \times 15 = 15$ 通り。

(2)

9人を2人、3人、4人のグループに分ける分け方は、

$\frac{9!}{2!3!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 6} = 9 \times 4 \times 7 \times 5 = 1260$ 通り。

次に、各グループに美術部の部員が1人ずつ入る場合を考える。まず、美術部員を2人、3人、4人のグループにそれぞれ1人ずつ割り振る。これは、3人を並べる順列と同じなので、 $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

次に、残りの6人から、2人のグループに1人、3人のグループに2人、4人のグループに3人を選ぶ。これは、

$_6C_1 \times _5C_2 \times _3C_3 = 6 \times \frac{5 \times 4}{2} \times 1 = 6 \times 10 \times 1 = 60$ 通り。

したがって、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方は、 $6 \times 60 = 360$ 通り。

(3)

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合を考える。

まず、2人のグループを作る部を選ぶ。これは3通り。

次に、その部から2人を選ぶ。これは $_3C_2 = 3$ 通り。

残りの6人を3人、4人のグループに分ける。これは $\frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

2つのグループの人数が異なるため、並び替えは不要である。

よって、2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方は、$3 \times 3 \times \frac{6!}{3!4!} = 9 \times \frac{6\times5}{1} = 9 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 9 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 9 \times 20 = 180$通り

残りの人数が6人なので、$\frac{6!}{3!4!}=\frac{6 \times 5}{1} \times (1/1) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1(3\times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}=360$. 間違い。 残った6人を3人と4人に分ける場合 $\frac{6!}{3!4!} \frac{3!3!}{(2 \times 2) \times (1 \times 1)}=6/1 \times \frac{3 \times 1}= 6 \times 5\times \dots= 20 = 3 \times 3 \times 20/1 = 180$.

よって、$3\times3\times \frac{6!}{3!4!}=180$

次に、どのグループにも2つ以上の部の部員が入る場合を考える。

(2)から、グループの分け方は全部で1260通り。

2人のグループに1つの部の部員だけが入る場合は180通り。

2人のグループに2つの部の部員が入る場合、どのグループにも2つ以上の部員が入る。

2人のグループを1人の美術部と1人の書道部で構成する場合を考える。$\frac{6!}{2!3!4!}$

どのグループにも2つ以上の部の部員が入る分け方は、1260 - (2人のグループに1つの部の部員だけが入る分け方)を考える。

ただし、2人のグループが空になることはない。

各グループに少なくとも2つ以上の部活の部員が含まれる場合を考える。

全体の場合から、2人のグループに1つの部活の部員しかいない場合を引けば良い。

1260 - 180 = 1080通り

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 全体: 1260通り、各グループに美術部員が1人ずつ: 360通り

(3) 2人のグループに1つの部の部員だけ: 180通り、どのグループにも2つ以上の部の部員: 1080通り