赤玉と青玉が合わせて12個入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$であるという。赤玉の個数を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉と青玉が合わせて12個入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、2個とも赤玉である確率が$\frac{14}{33}$であるという。赤玉の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

赤玉の個数を $n$ とします。

袋の中には赤玉が $n$ 個、青玉が $12-n$ 個入っています。

2個の玉を同時に取り出す組み合わせの総数は $_{12}C_2$ です。

2個とも赤玉を取り出す組み合わせの数は $_nC_2$ です。

したがって、2個とも赤玉である確率は、

$\frac{_nC_2}{_{12}C_2} = \frac{n(n-1)/2}{12 \cdot 11/2} = \frac{n(n-1)}{12 \cdot 11}$

これが$\frac{14}{33}$に等しいので、

$\frac{n(n-1)}{12 \cdot 11} = \frac{14}{33}$

$n(n-1) = \frac{14}{33} \cdot 12 \cdot 11$

$n(n-1) = 14 \cdot 4 = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

$(n-8)(n+7) = 0$

$n = 8$ または $n = -7$

$n$ は個数なので、$n>0$を満たす必要があります。

したがって、$n=8$

3. 最終的な答え

8個