A, B, C, D, E, F, G, H の 8 文字を無作為に横 1 列に並べるとき、以下の条件を満たす確率を求める。 (2) A は B より左にあり、B は C より左にある。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F, G, H の 8 文字を無作為に横 1 列に並べるとき、以下の条件を満たす確率を求める。

(2) A は B より左にあり、B は C より左にある。

2. 解き方の手順

まず、8 文字を横 1 列に並べる並べ方の総数を求める。これは 8! である。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

次に、A, B, C の位置関係が A, B, C の順になっている並べ方の数を求める。

A, B, C の 3 文字の位置関係には、3! = 6 通りの並び方がある。そのうち、A, B, C の順になっているのは 1 通りだけである。

したがって、8 文字の並び方のうち、A, B, C がこの順に並んでいる確率は 1/6 である。

A, B, C 以外の 5 文字（D, E, F, G, H）の並び方は 5! 通りである。

A, B, C を含めた 8 文字の並び方は 8! 通りであるが、A, B, C の位置関係が A, B, C の順になっている並べ方は、8! を 3! で割ったものに等しい。

つまり、条件を満たす並べ方の数は、全並べ方の数を A, B, C の並び方の数で割ったものになる。

したがって、条件を満たす並べ方の数は、

$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

求める確率は、条件を満たす並べ方の数を全体の並べ方の数で割ったものであるから、

$\frac{8! / 3!}{8!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

1/6