兄と弟がゲームで対戦する。兄が勝つ確率は $\frac{1}{2}$、弟が勝つ確率は $\frac{1}{3}$、引き分けの確率は $\frac{1}{6}$ である。 (1) 3回対戦して兄が2勝1引き分けとなる確率を求めよ。 (2) 4回対戦して4回目に初めて兄が勝つ確率を求めよ。

1. 問題の内容

兄と弟がゲームで対戦する。兄が勝つ確率は $\frac{1}{2}$、弟が勝つ確率は $\frac{1}{3}$、引き分けの確率は $\frac{1}{6}$ である。

(1) 3回対戦して兄が2勝1引き分けとなる確率を求めよ。

(2) 4回対戦して4回目に初めて兄が勝つ確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3回対戦して兄が2勝1引き分けとなる確率を求める。

3回のうち、兄が2回勝ち、1回引き分ける組み合わせは $_3C_2 = 3$ 通りある。それぞれの確率は、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$である。

したがって、求める確率は、

$3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = 3 \times \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

(2) 4回対戦して4回目に初めて兄が勝つ確率を求める。

4回目に兄が勝つので、それまでの3回は兄が勝たない。つまり、3回は兄が負けるか引き分けるかのどちらかであり、4回目に兄が勝つ。

兄が負ける確率は$\frac{1}{3}$、引き分ける確率は$\frac{1}{6}$なので、兄が勝たない確率は $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

したがって、求める確率は、$(\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{1}{16}$