1, 2, 3, 4 の数字が書かれた4枚のカードが入った箱から、1枚ずつカードを取り出し、取り出したカードを元に戻す操作を4回繰り返します。このとき、取り出した数字を順に $a, b, c, d$ とするとき、$ab - cd = 3$ となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4 の数字が書かれた4枚のカードが入った箱から、1枚ずつカードを取り出し、取り出したカードを元に戻す操作を4回繰り返します。このとき、取り出した数字を順に $a, b, c, d$ とするとき、$ab - cd = 3$ となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

$ab - cd = 3$ となる組み合わせを考えます。

$a, b, c, d$ はそれぞれ 1, 2, 3, 4 のいずれかの値を取ります。

$ab$ と $cd$ の組み合わせを考えると、以下の組み合わせが考えられます。

* $ab = 7, cd = 4$

* $ab = 6, cd = 3$

* $ab = 5, cd = 2$

* $ab = 4, cd = 1$

それぞれの組み合わせについて、$a, b$ と $c, d$ の値を調べます。

$a, b, c, d$ は 1, 2, 3, 4 のいずれかの値を取るため、 $ab$ と $cd$ の取りうる値は、1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16 です。

可能な組み合わせは次のとおりです。

* $ab = 4, cd = 1$: ($a, b$) = (1, 4), (4, 1), (2, 2) の 3通り。($c, d$) = (1, 1) の 1通り。

* $ab = 6, cd = 3$: ($a, b$) = (2, 3), (3, 2) の 2通り。($c, d$) = (1, 3), (3, 1) の 2通り。

したがって、$ab - cd = 3$ となる組み合わせの数は、 $3 \times 1 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7$ 通りです。

取り出し方の総数は、$4^4 = 256$ 通りです。

したがって、求める確率は $\frac{7}{256}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{7}{256}$