AとBがそれぞれサイコロを1つずつ投げ、同じ目が出たらAの勝ち、そうでなければBの勝ちとなるゲームを繰り返す。先に3勝した方が優勝するとき、以下の確率を求める。 (1) 5回目にAの優勝が決まる確率。 (2) Aが優勝する確率。

1. 問題の内容

AとBがそれぞれサイコロを1つずつ投げ、同じ目が出たらAの勝ち、そうでなければBの勝ちとなるゲームを繰り返す。先に3勝した方が優勝するとき、以下の確率を求める。

(1) 5回目にAの優勝が決まる確率。

(2) Aが優勝する確率。

2. 解き方の手順

(1) 5回目にAの優勝が決まるためには、4回目までにAが2勝し、5回目にAが勝つ必要がある。

1回のゲームでAが勝つ確率は $1/6$、Bが勝つ確率は $5/6$ である。

4回目までにAが2勝2敗となる確率は、反復試行の確率の公式から $_4C_2 (1/6)^2 (5/6)^2$ となる。

5回目にAが勝つ確率は $1/6$ であるから、求める確率は、

$_4C_2 (1/6)^2 (5/6)^2 \times (1/6) = 6 \times (1/36) \times (25/36) \times (1/6) = 25/1296$

(2) Aが優勝するのは、3回目に優勝する場合、4回目に優勝する場合、5回目に優勝する場合がある。

* 3回目に優勝する場合：Aが3連勝するので、確率は $(1/6)^3 = 1/216$

* 4回目に優勝する場合：3回目までにAが2勝1敗で、4回目にAが勝つ。確率は $_3C_2 (1/6)^2 (5/6) \times (1/6) = 3 \times (1/36) \times (5/6) \times (1/6) = 15/1296 = 5/432$

* 5回目に優勝する場合：(1)より確率は $25/1296$

したがって、Aが優勝する確率は、

$\frac{1}{216} + \frac{15}{1296} + \frac{25}{1296} = \frac{6}{1296} + \frac{15}{1296} + \frac{25}{1296} = \frac{46}{1296} = \frac{23}{648}$

3. 最終的な答え

(1) 5回目にAの優勝が決まる確率: $\frac{25}{1296}$

(2) Aが優勝する確率: $\frac{23}{648}$