5本のくじの中に当たりくじが2本ある。aとbの2人が順番にくじを1本ずつ引く。ただし、aが引いたくじは元に戻さない。 (1) aもbも当たる確率を求めよ。 (2) bが当たる確率を求めよ。

1. 問題の内容

5本のくじの中に当たりくじが2本ある。aとbの2人が順番にくじを1本ずつ引く。ただし、aが引いたくじは元に戻さない。

(1) aもbも当たる確率を求めよ。

(2) bが当たる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) aもbも当たる確率

aが当たる確率は $\frac{2}{5}$。

aが当たった後、残りのくじは4本で、当たりくじは1本。したがって、bが当たる確率は $\frac{1}{4}$。

aもbも当たる確率は、aが当たる確率とbが当たる確率の積で求められる。

$P(\text{aもbも当たる}) = P(\text{aが当たる}) \times P(\text{bが当たる}|\text{aが当たった})$

$P(\text{aもbも当たる}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$

(2) bが当たる確率

bが当たるには、以下の2つの場合がある。

(i) aが当たり、bも当たる。

(ii) aが外れ、bが当たる。

(i)の場合の確率は、(1)で求めた $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4}$。

(ii)の場合の確率を求める。

aが外れる確率は $\frac{3}{5}$。

aが外れた後、残りのくじは4本で、当たりくじは2本。したがって、bが当たる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

aが外れてbが当たる確率は、 $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}$。

bが当たる確率は、(i)と(ii)の場合の確率の和で求められる。

$P(\text{bが当たる}) = P(\text{aが当たり、bが当たる}) + P(\text{aが外れ、bが当たる})$

$P(\text{bが当たる}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) aもbも当たる確率

$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

(2) bが当たる確率

$\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{20} + \frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

答え:

(1) $\frac{1}{10}$

(2) $\frac{2}{5}$