問題16は、ある工場で生産される製品の不良率を信頼度95%で推定する際に、信頼区間の幅を0.02以下にするには、標本の大きさをいくらにすればよいかという問題です。不良率は約5%と予想されています。

1. 問題の内容

問題16は、ある工場で生産される製品の不良率を信頼度95%で推定する際に、信頼区間の幅を0.02以下にするには、標本の大きさをいくらにすればよいかという問題です。不良率は約5%と予想されています。

2. 解き方の手順

不良率をRとし、標本の大きさをnとします。信頼区間の幅は、$2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$ で表されます。この幅を0.02以下にするには、以下の不等式を解きます。

$2 \times 1.96 \times \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{n}} \le 0.02$

まず、両辺を2で割ります。

$1.96 \times \sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{n}} \le 0.01$

次に、両辺を1.96で割ります。

$\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{n}} \le \frac{0.01}{1.96}$

両辺を2乗します。

$\frac{0.05 \times 0.95}{n} \le (\frac{0.01}{1.96})^2$

両辺にnをかけます。

$0.05 \times 0.95 \le n (\frac{0.01}{1.96})^2$

両辺を $(\frac{0.01}{1.96})^2$ で割ります。

$n \ge \frac{0.05 \times 0.95}{(\frac{0.01}{1.96})^2}$

$n \ge 0.05 \times 0.95 \times (\frac{1.96}{0.01})^2$

$n \ge 0.05 \times 0.95 \times 196^2 \times 10000$

$n \ge 0.0475 \times 38416$

$n \ge \frac{475}{10000} \times 38416$

$n \ge \frac{19}{400} \times 38416$

$n \ge \frac{729904}{400}$

$n \ge 1824.76$

したがって、$n$ は1825以上である必要があります。

3. 最終的な答え

標本の大きさは1825以上にすればよい。