ある大学の入学試験について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) 合格者のうち600点以上の者は約何%いるか。 (2) 合格最低点は、およそ何点であると考えられるか。 与えられた情報は、以下のとおりです。 * 試験は1000点満点 * 全志願者数は2000名 * 得点分布は平均450点、標準偏差75点の正規分布に従う * 入学定員は320名

1. 問題の内容

ある大学の入学試験について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) 合格者のうち600点以上の者は約何%いるか。

(2) 合格最低点は、およそ何点であると考えられるか。

与えられた情報は、以下のとおりです。

* 試験は1000点満点

* 全志願者数は2000名

* 得点分布は平均450点、標準偏差75点の正規分布に従う

* 入学定員は320名

2. 解き方の手順

(1) 合格者のうち600点以上の者の割合を求める。

まず、600点が平均からどれだけ離れているかを標準偏差で測る ($z$ 値を計算する)。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

$z = \frac{600 - 450}{75} = \frac{150}{75} = 2$

$z = 2$ に対応する確率を正規分布表から求める。通常、$z=0$ から $z=2$ までの確率が与えられるので、その値を $P(z)$ とする。

$P(z) \approx 0.4772$ (問題の画像より)

600点以上の割合は、正規分布の右側の裾の部分にあたるので、$0.5 - P(z)$ で計算する。

$0.5 - 0.4772 = 0.0228$

したがって、600点以上の者は約2.28%である。四捨五入して整数で答えるので、約2%である。

(2) 合格最低点を求める。

まず、合格率を計算する。

合格率は $\frac{320}{2000} = 0.16$ である。つまり、上位16%が入学できる。

正規分布において、上位16%に相当する $z$ 値を求める。

$0.5 - P(z) = 0.16$

$P(z) = 0.5 - 0.16 = 0.34$

$P(z) = 0.34$ に対応する $z$ 値を正規分布表から求める。

$z \approx 0.99$ (問題の画像より$0 \le z \le 0.99$のとき確率が$0.34$であると読み取れる。)

合格最低点の $x$ を求めるために、$z$ 値の式を逆算する。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

$0.99 = \frac{x - 450}{75}$

$x - 450 = 0.99 \times 75 = 74.25$

$x = 450 + 74.25 = 524.25$

したがって、合格最低点は約524.25点である。問題では「およそ何点であると考えられるか」とあるので、四捨五入して約524点または約525点と答えるのが適切。画像の解答では約525点となっている。

3. 最終的な答え

(1) 約2%

(2) 約525点